前略、horyu918さん

全く詳しくなく、当てずっぽうですが、aタグの親タグであるdivタグの背景色を白色にして角丸にするというのは、どうでしょうか？

※上手くいくかどうかはわかりません。

以下が参考にならないでしょうか。

CSSだけで文字にグラデーションカラーを付ける方法
https://design-remarks.com/css-gradation-text/

私も詳しくないですが、ベンダープレフィックスなんでしょうか。

【再々追記】

背景色ということのようですので、上記は関係ない感じかもですね。
訂正させていただきます。

実際のボタンをご提示いただくと、確認し易い気はします。
（リンクいただいたURLのどこを拝見すれば良いのか良く分からず・・・。）

【追記】

以下の部分みたいです。

背景色と同化していて気づきませんでした。

添付画像のものでいいでしょうか。

もし、よろしければ、このような CSS です。

まず、お書きになっている CSS に間違いがあるのと、position: relative を追加したいため、.button06 a の CSS を変更します。

.button06 a {
  text-decoration: none;
  display: flex;
  justify-content: space-between;
  align-items: center;
  margin: 0 auto;
  padding: 1em 2em;
  width: 300px;
  font-size: 15px;
  font-weight: 700;
  background: linear-gradient(-75deg,  rgba(236, 224, 218, 0.9), rgba(241, 114, 177, 0.9) , rgba(119, 125, 239, 0.9));
  box-shadow: 0 0 10px rgba(0 0 0 / .2);
  background-clip: text;
  -webkit-background-clip: text;
  color: transparent;
  transition: 0.3s;
  position: relative;
}

さらに、CSS を追加します。この CSS が白い背景色の指定です。

.button06 a::before {
  background: #fff;
  border-radius: 6px;
  content: '';
  inset: 0;
  position: absolute;
  z-index: -1;
}

@akira 

akiraさん、ありがとうございます！

beforeで指定するのですね。

ちなみに、after hover要素が動かなくなりましたが、after要素によるものでしょうか？

.button06 a::after {
content: '';
width: 5px;
height: 5px;
border-top: 3px solid #333333;
border-right: 3px solid #333333;
transform: rotate(45deg);
}

.button06 a:hover {
text-decoration: none;
background-color: #fff;
box-shadow: 0 0 10px rgba(0 0 0 / 0.1);
}

@horyu918 さん

該当部分を全て置き換え、単純に以下でいいのかなと。

/* ボタン文字をグラデーション */
.button06 a {
  align-items: center;
  background: linear-gradient(-75deg, rgba(236, 224, 218, 0.9), rgba(241, 114, 177, 0.9), rgba(119, 125, 239, 0.9));
  color: transparent;
  display: flex;
  font-size: 15px;
  font-weight: bold;
  justify-content: space-between;
  text-decoration: none;
  transition: 0.5s;
  -webkit-background-clip: text;
}

/* 矢印もグラデーション対象にする為、絵文字に */
.button06 a:after {
  font-family: 'Font Awesome 5 Free';
  font-weight: 900;
  content: '\f054';
}

/* ボタン */
.button06 {
  background-color: #fff;
  border-radius: 50px;
  margin: 0 auto;
  padding: 1em 2em;
  width: 300px;
  transition: .5s;
}

/* ボタンhoverの時、影を付ける */
.button06:hover {
  box-shadow: 0 0 10px rgb(0 0 0 / 45%);
}

@horyu918 さん

ホバー時にどうなればいいのでしょうか？背景色を白色から #aaa に変えればいいのでしょうか？

after hover要素が動かなくなりました

::after 疑似要素は、ボタンの右側にある矢印ですよね。これもホバー時に変化させるのでしょうか？また、矢印もグラデーションにするのがいいのでしょうか？

お書きになっている CSS の中には、不要なものが含まれています。全部の CSS を提示しますので、ホバー時のご希望が知りたいです。また、width: 300px とありますが、これは最低 300px の幅が必要なのでしょうか？ 

@chu-ya 

chu-yaさん初めまして。ありがとうございます。

説明文も丁寧に入れてくださり、大変助かります泣

イメージと合っていたのでそのまま使用させていただきます！

@akira 

akiraさんコメントありがとうございます。

他サイトから組み合わせて作ったもののため、見当違いなものも含まれているかと思います。

chu-yaさんのCSSがイメージと合っていたためそちら使用させていただきます。

これを元に要素と特性を勉強してみます。