SlickNav のデフォルトでは、親のリンクはクリックできない設定になっています。allowParentLinks が false です。

参考：Options

また、デフォルトでは親のタグが a タグになっています。parentTag が a です。そのため、親メニューが a タグの中に a タグが入っていて、おかしくなっています。

とりあえず、このように変更したら動作するようになりました。変更箇所は、lib/utils.php の 779 行目です。

label: "'.apply_filters('wp_enqueue_slicknav_label', 'MENU').'",
parentTag: "div",
allowParentLinks: true,

@akira さん

ありがとうございます。
早速、lib/utils.phpを修正し、動作する事を確認しました。
jQueryプラグインSlickNavを使っていたんですね。

あとデザインの件のみ、回答願います。

本件はこれでクローズします。

他のSlickNavの表示例を見ると、どうも赤枠の「下向き＞」は不要ですね。
モバイルの時、アイコン不要なので非表示とし解決。

.slicknav_menu .has-icon {
  display: none;
}

これは解決済ではありません。不具合ですので親テーマの修正が必要です。

ちなみに、SlickNav のサイト URL が変わっていました。Cocoon に同梱の README.md に書かれている URL は、使われていませんでした。

https://computerwolf.github.io/SlickNav/

現在の README.md。

https://github.com/ComputerWolf/SlickNav/blob/master/README.md

ご連絡ありがとうございます。
不具合を修正しておきました。
おそらく、Font Awesome5対応した時に紛れ込んでしまった不具合かと思います。
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https://github.com/yhira/cocoon
開発中の最新ファイルをダウンロードする場合は、上記ページのダウンロードボタンからzipファイルをダウンロードしてください。

WordPressでの手動アップデート方法はこちら
https://wp-cocoon.com/manual-update-of-cocoon-theme/
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投稿者:: @akira

ちなみに、SlickNav のサイト URL が変わっていました。Cocoon に同梱の README.md に書かれている URL は、使われていませんでした。

https://computerwolf.github.io/SlickNav/

使われていないとはどういった状態でしょうか。エラーとか？
僕の環境で見た限りではサイト表示されているように見えます。

@yhira さん

----------------------------------------------
テーマ名：Cocoon
バージョン：2.4.3.3
カテゴリ数：17
タグ数：80
ユーザー数：1
----------------------------------------------

style.cssに以下が追加され、赤枠の「下向き＞」が非表示になる事を確認しました。
Akiraさんの言う、lib/utils.phpの修正がなく、回答願います。

.slicknav_nav .has-sub {
    display: none;
}

使われていないとはどういった状態でしょうか。エラーとか？

申し訳ないです。書き方が悪かったです。

Cocoon の plugins/slicknav/README.md に書かれている SlickNav.io のドメインが切れており、アクセスできません。 

一方、SlickNav の SlickNav/blob/master/README.md に書かれている Docs & Examples は、アクセスできます。

公式サイトの変更で README.md が変わったようですので、念の為に Cocoon に同梱の README.md も変更するのがいいかもしれないと思いました。

それと、気がついた点があります。以下のオプションを指定すると…

allowParentLinks: true

子メニューの展開には、SlickNav の右矢印アイコンをタップしないといけません。ただ、このアイコンがすごく小さく、まともにタップできません。

そこで、scss/_slicknav.scss の 14 行目を以下のように変更してもいいかなと思いました。

.slicknav_nav {
  .slicknav_arrow {
    display: inline-block;
    font-size: 0.8em;
    text-align: center;
    width: 44px;
  }
}

61 行目から 66 行目と一緒に書いてもいいかもしれないです。

※ 添付画像は、CSS を追加後の状態です。

投稿者:: @chu-ya

Akiraさんの言う、lib/utils.phpの修正がなく、回答願います。

こちら修正しておきました。

投稿者:: @akira

Cocoon の plugins/slicknav/README.md に書かれている SlickNav.io のドメインが切れており、アクセスできません。

こっちだったんですね。

https://github.com/yhira/cocoon/blob/master/readme.md
上記のReadMe部分と勘違いしてました ? 
大文字と小文字の違いで気づくべきでした。

plugins/slicknavのREADME.md内容を最新のものに変更しておきました。

投稿者:: @akira

子メニューの展開には、SlickNav の右矢印アイコンをタップしないといけません。ただ、このアイコンがすごく小さく、まともにタップできません。

Chromeのデベロッパーツール（Firefoxでも確認）だと、アイコン特定でタップしなくても（右矢印の右の方でも）大丈夫そうですが、実機とかでしょうか。
よろしければ、端末とブラウザー教えていただいてよろしいでしょうか。

でも、Chrome デベロッパーツールで見ると要素はspanでインライン要素なのでCSSを変更しておいたほうがよさそうですね。
修正しておきます。

できるだけ、タップできる幅が大きい方が良いかと思い、flexでの変更も試みてみました（画像前者）。
ただ、長いメニュー名を使用する場合、display: inline-block;の方（画像後者）が見た目が良さそうだったのでAkiraさんの方法をそのまま利用して修正させていただきました。

----------------------------------------------
テーマ名：Cocoon
バージョン：2.4.3.4
カテゴリ数：17
タグ数：80
ユーザー数：1
----------------------------------------------
上記の件、確認しました。
本件はこれでクローズします。

ご参考
.slicknav_rowの前にFontawesomeアイコンを付け。
.slicknav_openの時、アイコンを切り替えるようにしました。

ご確認いただきありがとうございます！