1.設定をファイルに書き出すというのは「どこをどう設定していたかをメモ書きしておく」という意味でしょうか？
であれば後述の3の回答に繋がりますが、他に方法があります。

2.これは私もいまいち分かってないのでわいひらさんの回答を待ちたいです(DBに保存する以外の設定はどこに保存している…？)

3.Cocoon設定>バックアップの部分からバックアップを取得できます。
この部分で取れるバックアップはCocoon設定>Cocoon設定で変更する設定で、それ以外の部分(吹き出し、テンプレート、アフィリエイトタグ……など)はDBに保存されています。

なのでCocoonの設定に関しては、Cocoon設定>バックアップと、DBのバックアップを復元すれば元の状態に戻せるはずです。

@haruinoue ありがとうございます！

やはり「Cocoon設定>バックアップ」から設定を出力して移行が一般的なのですね。

上記の方法以外で、動いているサーバから設定を探し出して、新規のサーバに移植する。(unixコマンドで完結する)

そんな方法ももしあればどなたかお願い致します。

サーバ移行する際にDBと全ファイルを移行したのですが、cocoonの設定は移行できませんでした。

ちょっと的外れな回答かもしれませんが。

「サーバ移行」と書かれているので、違うレンタルサーバーへの引っ越しをしたいのかなと思いました。

その場合は、レンタルサーバーが提供している移行ツールを使えば、Cocoonの設定も含めて丸ごと引っ越しすることができると思うんですが、これではダメでしょうか。

ちなみに、僕はロリポップで運営していたブログを、XServerの方に移行ツールを使って引っ越しすることができました。（ただし、テーマはCocoonじゃありません）

＜参考＞

WordPress簡単移行

@y-hiroaki ありがとうございます。

そうですね、違うサーバに丸ごとcocoonを含んだワードプレスを引っ越したいと思っています。

その際にDBもファイルも全てそのまま引っ越しているのに、cocoonの設定は再現できないので出来たらその方法が知りたいと思っています。

まったく参考にならなくて申し訳ありませんが。

私は、サーバーを引っ越したり、本番環境からテスト環境へとデータを移したりしたことがあります。
（ローカル環境から、サーバーへ移したり。）

サーバーとデータベースのデータを丸々移せば基本的にはOKでした。
（ドメインの変更はするのでしょうけど。）

Cocoonの設定は基本的にはデータベースにあるはずですし、コピーすればOKな認識なのですが。
（おそらくWordPressの関数でデータベースに書き込んでいるのでは。「Cocoon設定」－「Cocoon設定」のものは。）

何か、他にあるのでしょうか。
すみません、何もお役に立てず。

Cocoonの設定もデータベース（MySQL）に格納されています。
なので基本的には、データベースの引っ越しさえ行えばテーマデータも引き継げるとは思います。