申し訳ないですが、書いてあることの意味がちょっとわからないです。
出来れば、キャプチャ画像を交えて説明していただけると助かります。

キャプチャ画像で、どの部分がどのようにおかしいかとか、「固定ページを編集」で、アイキャッチをどのように設定しているかとか。

テキストだと、どうしても曖昧な表記になるので、画像で見せていただけると助かります。

こちらのページでいう、ポストの画像がタイトルとかぶらないということであれば、ポストの画像は本文中の画像でアイキャッチではないので、仕様通りの表示になっていると思います。
https://hapisora.com/

添付画像の赤丸で囲った部分が添付画像のように表示されていることが望ましいですが、この部分が表示されていないページがあります。

このページが表示されていないページなのですが、このページの種類が投稿ページになっていました。

なので、投稿ページでも1枚目の添付画像の赤丸で囲ったようなエリアを表示させたいということがこの質問の趣旨になります。

インデックスページは、WordPressの仕様上アイキャッチは表示されないと思います。
このようなページに表示させたいということですよね？
https://wp-cocoon.com/?cat=0

https://hapisora.com/blog
こちらのページは、WordPressの表示設定にある「ホームページの表示」項目で「投稿ページ」に設定されているページなのではないでしょうか？

はい、そのようなページに表示させたいのですが、これはWordPressの仕様上不可能なのですね。
WordPressの表示設定で確認したところ、アイキャッチが表示されていないページが投稿ページに設定されていました。

.public-pageのmain前にCSSで装飾すれば無理やりでもそれっぽい風に出来ると思いますよ。

ただアイキャッチ自体存在しないページなので、任意の文字列を入れて、その背景に好きな画像を置けばイケそうかもです。

始めのページだけ指定できる（class属性）指定方法はないっぽいですけど。

cssで装飾すればそれっぽくできるのですね。
WordPressの標準機能でできないことが分かったので、cssでやってみようと思います。
ありがとうございます。

.public-page #main:before {
	content: "記事一覧"; /*文字は任意*/
	display: block;
	text-align: center;
	font-size: 1.5em;
	font-weight: bold;
	color: #000; /*opacityの影響で文字色を真っ黒に*/
	text-shadow: 1px 1px 1px #fff; /*背景画像によって文字が見にくい場合*/
	background: url( https://hapisora.com/wp-content/uploads/2019/03/6adcba16cf75782feed3b81cc719f653.png ) no-repeat top center #fff;
	background-size: contain;
	background-position: center;
	padding-top: 100px;
	height: 120px;
	opacity: 0.5;
}

https://gyazo.com/918821d805b7eed80e90c90a5468dbbe

https://gyazo.com/20d304b7a26fcc03543cbb23ee0cf16d

適当ですが、こんなイメージにしてみましたが、お好きなようにカスタマイズを行ってくださいね。

おぉ、自分のやりたいようなカスタマイズに近づきました！
ありがとうございます！
ご提示いただいたコードを元に自分の方でも色々といじって理想の形に近づけてみます！

ありがとうございますmm