●回答

また、コードを書く以外にcocoonの機能で実行できるようでありましたらそちらの方法を教えていただきたいです。

Cocoonの標準機能では、エントリーカードにタグ情報を出力する設定はありません。

そのため、ご希望の機能を実装するには、functions.php にコードを追加する必要あります。
entry_card_snippet_after フックを利用して、エントリーカード内のスニペットの後ろに情報を追加します。

なお、仕様上の注意点として、エントリーカード全体が記事ページへのリンク（＜a＞タグ）で囲まれているため、カード内に別のリンク（タグ一覧へのリンク）を配置することができません。

●補足

テンプレートファイル（entry-card.php）を子テーマにコピーして修正する方法もありますが、親テーマのアップデート時にテンプレートの仕様が変更されるリスクがあります。
そのため、メンテナンス性を考慮すると、フックを利用した実装が望ましいです。

●アドバイス

テーマファイルエディタから添付した画像のようにエントリーカードにタグを表示させたいのですがうまく実行できない状態

アクセシビリティの観点からは非推奨ですが、構造上の制約を考慮し、＜object＞タグを用いてリンクを内包する設計とします。
この場合、先述の entry_card_snippet_after フックから投稿ページ用のカテゴリー・タグテンプレート（tmp/categories-tags.php）を呼び出すだけなので、わずか5行のコードで実現可能です。

@chu-ya 問題が解決しました。ありがとうございます！

@uk12345 さん

アクセシビリティの観点からは非推奨ですが、構造上の制約を考慮し、＜object＞タグを用いてリンクを内包する形で実装します。
[Cocoon設定]→[投稿]→カテゴリー・タグ表示設定「カテゴリー・タグ表示」の設定に従って表示します。

add_action('entry_card_snippet_after', function() {
  echo '<object>';
  cocoon_template_part('tmp/categories-tags');
  echo '</object>';
});