/wp-includes/css/dist/block-library/style.min.css

そのCSSが書かれているのは、WordPressのコアファイルなので仕様っぽいです。
おそらく、背景色を設定した場合、背景色を見せたいだろうということでちょっと広く表示される仕様になっているのではと推測します。

追加CSSクラスを設定して、上書きをしようとしても反映されず…

こちらに関してはどのように書かれてたのでしょう？
普通に上書きでいけそうな気もしますけど。
できれば実際のページのURLを提示して頂いて、ソースコードを見せていただけたら、手っ取り早くてありがたいです。

とりあえず、H2だけで試しました。

「背景色なし」「背景色あり」で比較すると、以下のような感じでした。

.article h2.has-background {
    padding: 25px;
}

ちなみに、追加CSSの場合は、勝つみたいでした。

https://github.com/WordPress/gutenberg/issues/41535

何かそれらしい事が書かれており。

気になったのは
CocoonのCSSですが、親＞子＞wp-block-library-cssとなっています。
他テーマSANGO、JINを見ると、wp-block-library-css＞親＞子のようです。

上記に誤解を生む表記があり。
「＞」並び順を示し、優先度ではありません。
CocoonのCSSですが並びは親→子→wp-block-library-cssとなっており。
wp-block-library-cssの優先度が1番高いです。

みなさまご回答ありがといございます！

mk2さんが検証いただい用に、子テーマに追加CSSクラスを記入していたのですが、
エディタ下部の「カスタムCSS」の機能で追加したところうまくできました！

子テーマに書いても、ワードプレスのコア記述部やテーマによっては優先されないこともあるんですね。
勉強になりました。

@fromine さん

子テーマCSSに定義し、プロパティにimportantを付ければ強制的に優先されます。

.article h2 {
  padding: 25px!important;
}

これは前から気になっていました。

今回の親テーマで指定している padding が優先度で負けるのは、以下のアクションフック wp_enqueue_scripts の優先順序が 1 のためです。

https://github.com/yhira/cocoon/blob/master/lib/scripts.php#L10

1 のため、Cocoon のスタイルシートが WordPress のスタイルシートより前で読み込まれます。

優先順序が 1 である理由が分からなかったため、私はスタイルシートの読み込み順をカスタマイズしていました。これで Cocoon のスタイルシートは、WordPress のスタイルシートの後で読み込まれます。

function wp_enqueue_style_theme_style() {
	wp_enqueue_style(
		THEME_NAME.'-style',
		PARENT_THEME_STYLE_CSS_URL,
		['wp-block-library']
	);
}

WordPress 5.9 で実装された global-styles-inline-css も考慮するなら、こうです。

function wp_enqueue_style_theme_style() {
	wp_enqueue_style(
		THEME_NAME.'-style',
		PARENT_THEME_STYLE_CSS_URL,
		['global-styles', 'wp-block-library']
	);
}

さかのぼって調べてみると、ブロックエディターが出るはるか前、Cocoonすら公開前の2018年1月製作中に「スクリプト関係」をフッターで読み込む機能（現在は機能廃止）を検討している時、優先度1が追加されたようです。
https://github.com/yhira/cocoon/blob/161f3432555f5fb0a28000227c65f5d50f60b425/lib/scripts.php
当時のことは詳しく覚えていませんが、おそらくスクリプトの読み込みを試行錯誤している時に追加してしまったものと思われます。
優先度1は削除してGitHubにアップしておきました。
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https://github.com/yhira/cocoon
開発中の最新ファイルをダウンロードする場合は、上記ページのダウンロードボタンからzipファイルをダウンロードしてください。

WordPressでの手動アップデート方法はこちら
https://wp-cocoon.com/manual-update-of-cocoon-theme/
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修正前。

当サイトにも変更を適用してみて問題が出ないかテスト中。