Fatal error: Allowed memory size of 268435456 bytes exhausted (tried to allocate 62914592 bytes) 

画像・動画・gifファイルか？大き過ぎるファイルがあるとか認識はありますか？あれば投稿編集画面？などから該当部分を切り取りバックアップ。一時的にその項目を削除してみるとどうなりますか？

memory sizeの部分しかみてませんが、エックスサーバーのPHPini設定のmemory size部分より大きいからエラーが出てるのかな？？？？と何気に思いました。

お急ぎでしたらそこを修正するには、ほか色々あったような気がするので、エラー部分を検索するか、php.ini　memory size　などで検索してPHP.ini設定で変更項目箇所の確認などチェックしてください。

眠い中スマホで見てたら気になってしまって、雑ですが取り急ぎ確認方法のみです

--------追記編集--------

※これが原因ではない可能性もあります。

お返事ありがとうございます。
朝起きてサイトを開くと読み込みスピードも頻繁に出ていたエラーも改善されていました。ただ、原因が何だったのか、なぜ直ったのか全くわからずまた同じ状態にならないか不安は残りますが。

画像・動画・gifファイル、大き過ぎるファイルがある認識はありますかとのことですが、まだ記事数も少なく動画も載せておらず、画像の圧縮もしているので心当たりはありません。

PHP.ini設定のmemory sizeは昨日確認してみた時、200Mになっており問題なさそうでした。

ひとまずEWWW Image OptimizerのJPG 画質レベルを最大にしているのでデフォルトに戻しメモリの消費量に気を付けて様子を見たいと思います。

眠い中、早急に返答して頂いて感謝です。
ありがとうございました。

設定をしている時に突然サイトが重くなり、エラーコードも頻繁に出るようになり困っています。

エラーが出たとき、どんな設定をされてたか覚えてたら書き込みして頂けたらと思います。

何とかサイトは表示されるのですが、読み込むのにとても時間がかかり、失敗することもあります。

これは管理画面上ですか、公開されたページ上でしたか？

とても時間がかかった時のページは『どこ』など覚えてますか？例えばCocoon設定の○○・外観－ウィジェットの××・公開された該当ページURLなど分かる範囲で大丈夫です。

一時的なものかも知れないですが、原因がしぼれる可能性があるかないかも今は分かりませんが、状況が分からないので。

また別の可能性も気になりますが、、

お時間あるとき良ければ書き込んで頂けたらと思うのと、思われそうかなと？？・・・。

エラーが出たとき、どんな設定をされてたか覚えてたら書き込みして頂けたらと思います。

エラーが初めて出たのはCocoon設定の『高速化』設定の変更を保存した時です。
その後、Cocoon設定全体が重くなりエラーが度々出るようになりました。
高速化の前に『全体・ヘッダー・広告・アクセス解析』部分のみ設定をしましたが、その時は問題なくサクサクを動作していました。
その他、エラーが出て重くなる前にしたことは、不要なプラグインの削除・外観メニューのナビケーションラベルにアイコンフォントを追加・Search Regexでアドセンスやボックスコードをコクーンのものに変換しました。

これは管理画面上ですか、公開されたページ上でしたか？
とても時間がかかった時のページは『どこ』など覚えてますか？

管理画面はCocoon設定全般です。ウィジェットや外観などはいつもより多少時間はかかるものの問題ありませんでした。

Cocoon設定が重くなってすぐ、公開されたページも読み込みが遅くなり同じエラーが出るようになったので、他の環境の友人二人にiPhoneやアンドロイドから開いて貰いましたが、ホームは開くがモバイルグローバルメニューが全く開かない、ページにより開かないといった症状でした。
一時間後には、友人もホームすら開けなくなり、公開されている全てのページが重くなりました。

上手く説明できず済みません。。

エラーメッセージは、サーバーのメモリ不足によるものなので、もしかしたら、そのときのサーバーの状態に原因がある可能性もあるのかもしれません。
エックスサーバーは、共用サーバーなので他の同居者のサイトにアクセスが集中して、メモリ不足になっていたら、そういったこともあるのかなと。
※エックスサーバーは、メモリも共有なので、他サイトの提供を受ける。

ただ、Fatal error: Allowed memory sizeエラーは、そういったときに出るのかどうかは、僕もそこまで詳しくないのでわからないのですが。
ただ、テーマだけが原因でそういったことになるのはちょっと考えづらいです。

今は問題なく表示されているようですし、ちょっと様子を見ていただく必要があるかもしれません。

わいひらさん、ありがとうございます。
特に改善するために何かしたわけでなく直ったので、言われる通りエックスサーバー側の問題だったのかもしれません。
また何かあればご相談させていただくかもしれませんが、ひとまず様子を見ていきたいと思います。

通常、テーマにエラーがあった場合は、改善しないと基本的に戻ることはありません。
なので、今も表示されているようなのでやはりサーバーの可能性は高そうです。
ただ、原因が完全に解明したわけではないので、同様の症状が起こったときに情報を書き込めるように、このトピックは当分オープンにしておこうと思います。