●対策案

テストはしていません。

スクロールがミリ秒単位で一瞬止まった50ミリ秒後にタイマーを発動させ、コンテンツ位置を取得し直す。

https://github.com/xserver-inc/cocoon/blob/e95529a7de4e8b51cb12ee6d69bf8d89ff13d237/javascript.js#L286-L333

notepadでエラーとなるので、以下にコードを添付します。

// ヘッダーの位置オフセットを更新
( function () {
  // スクロール時のタイマー変数をここで確実に宣言
  var scrollTimer = null;

  function updateHeaderOffset() {
    const header = document.getElementById( 'header-container' );

    let offset = 0;

    if ( header && header.classList.contains( 'fixed-header' ) ) {
      offset = header.offsetHeight;
    }

    // .mobile-header-menu-buttonsのtopを取得して処理
    const mobileHeaderMenuButtons = document.querySelector(
      '.mobile-header-menu-buttons'
    );
    if ( mobileHeaderMenuButtons ) {
      const computedStyle = window.getComputedStyle( mobileHeaderMenuButtons );
      const topValue = parseFloat( computedStyle.top );

      if ( topValue >= 0 ) {
        // topが0以上の場合は、その要素の高さを反映
        offset += mobileHeaderMenuButtons.offsetHeight;
      } else {
        // topが0未満の場合は、0pxとして扱う（offsetは変更しない）
        // 必要に応じて、ここで追加の処理を行う
      }
    }

    document.documentElement.style.setProperty(
      '--cocoon--header-container--position-offset',
      offset + 'px'
    );
  }

  document.addEventListener( 'DOMContentLoaded', updateHeaderOffset );

  // ブラウザサイズ変更時に更新（リサイズ処理が完了してから実行するため、少し遅延させる）
  let resizeTimer;
  window.addEventListener( 'resize', function () {
    clearTimeout( resizeTimer );
    resizeTimer = setTimeout( function () {
      updateHeaderOffset();
    }, 100 );
  } );

  // スクロール時にも更新
  window.addEventListener( 'scroll', function () {
    // リアルタイムで一度計算
    updateHeaderOffset();

    // タイマーをクリアして、スクロール停止から50ms後に最終計算
    clearTimeout( scrollTimer );
    scrollTimer = setTimeout( function () {
      updateHeaderOffset();
    }, 50 );
  } );
} )();

ご指摘とコードもいただきありがとうございます。
該当部分の修正をさせていただきました。
https://github.com/xserver-inc/cocoon/commit/c89c841d8ae5f7dfa4307545bbd7bfc3b6d03c0b

----------------------------------------------
テーマ名：Cocoon
バージョン：2.9.3.2
カテゴリー数：18
タグ数：123
投稿数：1752
固定ページ数：12
ユーザー数：1
----------------------------------------------
ヘッダーモバイルボタンが隠れたあと即時に上スクロールすると、再表示となっても、--cocoon--mobile-header-menu-buttons--bottomが0pxとなり、期待値とならない。

●追記

画像を追加します。

●追記

上記は、[Cocoon設定]→[モバイル]→モバイルボタン「モバイルボタンを固定表示する」オフのとき問題となる。

●案

ヘッダーモバイルボタンの高さは、画面がリサイズされ、ナビゲーションラベルが折り返されるなどで変化する。
それまでは変化しない。
結果、ページロード、リサイズ時に、ヘッダーモバイルボタンの高さを取得する。
その分、containerの位置を変更する。

jQuery(function($) {
  // 高さを更新する関数
  function updateHeaderMenuHeight() {
    var $menuButtons = $('.mobile-header-menu-buttons');
    
    // 要素が存在する場合のみ実行
    if ($menuButtons.length) {
      var height = $menuButtons.outerHeight();
      // html要素にCSS変数「--mobile-header-menu-height」を設定（単位: px）
      $('html').css('--mobile-header-menu-height', height + 'px');
    }
  }

  // 初回読み込み時に実行
  updateHeaderMenuHeight();

  // リサイズ時に実行（負荷軽減のためリサイズイベントを監視）
  $(window).on('resize', function() {
    updateHeaderMenuHeight();
  });
});

:root {
  --cocoon--mobile-header-menu-buttons--bottom: 0!important; 
}

@media (600px < width <= 1023px) {
  .body:has(.mobile-header-menu-buttons) .container{
    margin-top:var(--mobile-header-menu-height);
  }
}

@media (width <=600px) {
  .body:has(.mobile-header-menu-buttons) .container{
    margin-top:calc(var(--mobile-header-menu-height) - var(--wp-admin--admin-bar--height));
  }
}

●上記コードについて追記

ヘッダーモバイルボタンの位置を求めようとすると、スクロールにより例えばキャッチフレーズおりあとにヘッダーモバイルボタンが表示された場合、正しく求めることができない。
このため、高さを求め、ヘッダーモバイルボタン分の余白をあらかじめ設ける。

ヘッダーモバイルボタンより先に例えばキャッチフレーズが画面内に表示された場合、margin-topが見えるが、遅れ表示されるため、軽微なことと判断する。

●誤記

.body.scrollable-mobile-buttons:has(.mobile-header-menu-buttons) .container{

style.css、javascript.jsを2.9.3.1に戻し、上記コードを変更しているJSに追加？

※変更したJSは--cocoon--header-container--position-offsetの追加は、Gutenbergで.is-position-stickyとした時の考慮。

●追記

javascript.jsを修正し、ヘッダーモバイルボタンの高さを監視し、CSS変数に退避。
元々のヘッダーモバイルボタンの監視は、.is-position-stickyとした時、ヘッダー部下にするための考慮。

https://notepad.pw/share/u781nery9

以下のCSSを追加。

@media (600px < width <= 1023px) {
  .body.scrollable-mobile-buttons:has(.mobile-header-menu-buttons) .container{
    margin-top:var(--mobile-header-menu-height);
  }
}

@media (width <=600px) {
  .body.scrollable-mobile-buttons:has(.mobile-header-menu-buttons) .container{
    margin-top:calc(var(--mobile-header-menu-height) - var(--wp-admin--admin-bar--height));
  }
}

ありがとうございます。
GitHubのファイルを修正しておきました。

----------------------------------------------
テーマ名：Cocoon
バージョン：2.9.3.3
カテゴリー数：18
タグ数：123
投稿数：1753
固定ページ数：12
ユーザー数：1
----------------------------------------------
対策されていることを確認しました。
本件をクローズとします。

ご確認いただきありがとうございます。