わいひらさま
こんにちは

全てのプラグイン対して互換性があるわけではなく、またサポート外であることも理解した上で要望させてください。

タイトル通りです。
Ultimate Memberというプラグインでもアバター設定のロジックがあり、そのget_avatarフィルターの実行順序で干渉が起きて、Cocoon独自のアバター設定がうまくできないです。
（アップロードした画像がプロフィールウィジェットにて表示されません。）

解決策としては、これが正しいスマートなやり方なのかわかりませんが、
lib/profile.phpの87行目、

//プロフィール画像を変更する
add_filter( 'get_avatar' , 'get_uploaded_user_profile_avatar' ,1 , 5 );

実行順序を↓1から100000に変更するとCocoon独自のアバターが設定できるようになります。
（Ultimate Memberからのアバター設定もできました）

//プロフィール画像を変更する
add_filter( 'get_avatar' , 'get_uploaded_user_profile_avatar' , 100000 , 5);

干渉箇所はultimate-member/includes/core/um-filters-avatars.phpの45行目

add_filter( 'get_avatar', 'um_get_avatar', 99999, 5 );

以上、お手数ですが対応ご検討いただけると幸いです。