以下に例を示します。該当箇所のidなど追加し対応のこと。

/* ウィジェットのリストの先頭にアイコンフォントを付ける */
.widget li a:before {
  color: #ffb6c1;
  content: '\f138'; /* アイコンフォント */
  font-family: 'FontAwesome';
  margin-right: 0.5em;
}

子テーマCSSですが、どこかのコードをコピペしているのか分かりませんが、私なら以下のように記述します。
クリアフィックスをわざわざ付ける必要はなく

.cf .widget_categories ul→.widget_categories ul

konchanさん

別件ですが、真っ先に対応すべきことがあります。

konchanさんは、ConoHa独自に改変されたテーマをご利用で、バージョンアップできない状態です。
（ConoHaからは、ユーザーへ向けて、2021年11月に連絡があったはずです）

投稿者:: @konchan

テーマ名：Cocoon
バージョン：2.3.4

上記は、2021年7月頃のバージョンです。

WordPress 5.8までにしか対応しておらず、WordPress 6.0系でご利用になるには、いくつかの不都合があるはずです。

（現在のCocoonのバージョンは、2.4.8.x）

この状態を解消しておかないと、テーマのバージョンアップできず、今後WordPressのバージョンが上がっていくごとに、益々不都合が出てくると思います。

解消のためには、ConoHa独自に改変されたテーマを削除し、新たに正しいテーマのインストールが必要です。

以下の手順を参考になさって対象なさってください。
https://wp-cocoon.com/community/postid/55027/

そして、ご利用のスキンは、スキン開発用のテンプレートのような気はします。
（スマホからなもので、確認はしておりません）

前略、konchanさん

環境情報を拝見しますと、cocoonのテーマのフォルダ名が以前ConoHa WINGで提供されていたもののようです。

そのままでは、今後テーマのアップデートに支障が生じるような気がします。

一旦、WordPressの公式テーマに戻してから、ConoHa WINGからインストールしたCocoonを削除し、このCocoonのサイトからダウンロードしたテーマにインストールし直す方法があります。

mk2さんが手順をまとめてくださっていますので、以下にリンクを貼ってみます。

ｍｋ２さんがまとめてくださったトピック
https://wp-cocoon.com/community/postid/55027/

2分遅れでmk2さんと被っていますね・・ ? 

よく見たら子テーマCSSに、アイコンフォント付加のコードは定義してありした苦笑

●原因
子テーマCSSにエラーがあります。（図参照）
致命的なのは196～278行目の間に「｝」がありません。この為、全くCSSが反映されません。
以下でチェックを掛けて見直し下さい。

また、CSSはFont awesome 5 Freeとなっているが、[Cocoon設定]→[全体]→サイトアイコンフォント
Font awesome 4なのでは？

https://jigsaw.w3.org/css-validator/

@mk2_mk2 さま

バージョンアップデートの件、全くできておらず教えていただきありがとうございます。

すぐに更新作業してみます。

スキンは、［child] スキンテンプレートを使っているのですが、こちらは良くないのでしょうか。シンプルな白い状態から色やデザインのカスタマイズができればなと思いまして使っております。

@chu-ya さん

ありがとうございます。バージョンアップ後にCSSコードの検証を行い、エラーがない状態になったのですが、

ウィジェットエリアは、反映されずでした。サイトのフォントはFont awesome 5 Freeで設定しております。

@konchan さん

●原因
以下が漏れています。
Fontawesomeは、font-weight:900が必要です。

.widget li a:before {
color: #FFC0CB;
content: '\f138';
/* アイコンフォント */
font-family: 'Font Awesome 5 Free';
margin-right: 0.5em;
font-weight: 900;
}

度々、失礼いたします。

先ほど、アップデート後にスキンテーマを変更してCSSコードを入力したところ

きちんと反映がされておりました！

親切に教えていただき、本当にありがとうございます！

konchanさん

投稿者:: @konchan

スキンは、［child] スキンテンプレートを使っているのですが、こちらは良くないのでしょうか。シンプルな白い状態から色やデザインのカスタマイズができればなと思いまして使っております。

もう1度書きますが、上記はスキン開発時に使用するテンプレートです。
もっと言えば、「ひな型」です。

「スキン」としての装飾は一切なく、スタイルシートの最初のお約束が書かれているだけです。
中身を見ていただくと良く分かると思います。

中身は、以下のようになっています。

/*
  Skin Name: スキンテンプレート
  Description: スキン自作の際にひな型となるスキンです。スタイルは何も入っていません。
  Skin URI:  https://wp-cocoon.com/ 
  Author: わいひら
  Author URI:  https://nelog.jp/ 
  Screenshot URI:  https://im-cocoon.net/wp-content/uploads/skin-template.png 
  Version: 1.0.2
  Priority: 9999000000
*/
/*以下にスタイルシートを記入してください*/

中身は、上記だけしかなく、選択する意味はないです。

「なし」と同じ状態で実害はないと言えるかも知れませんが、何故意図的に選択なさっているのかな・・・という気はします。
（スキンの役割は果たしていない）

ご自分で、スキンを作成していて、その部分にCSSを追加しているのであれば話は別です。
（その場合は、スキンの名称も変更しそうには思います）

konchanさん

テーマの入れ替え作業が不完全なようです。

テーマ内デフォルトの画像は、旧テーマ（ConoHa独自に改変されたもの）を指していると思います。
例えば、404ページは以下のような感じです。