Seasonスキンにおいては、カテゴリ表示が一瞬で非表示になってしまうようです。

（cat-labelのクラスが消えています）

こちらのサイトでも同様の事象が確認できます。スキン動作デモで確認してみてはどうでしょう。

https://wp-cocoon.com/category/theme/theme-settings/

「なぜ消えてしまうのか、表示させるには」というのは、あまり詳しくなく、調査も不足しておりますため答えられず申し訳ないのですが、一度スキンをSeason以外（デフォルトが無難でしょう）に変更して、貴サイトの表示を確認してみてください。

$(function () {$('.entry-card .cat-label').remove();});
$(function () {$('.related-entry-card .cat-label').remove();});
$(function () {$('.carousel-entry-card .cat-label').remove();});

https://github.com/yhira/cocoon/blob/master/skins/skin-season-winter/javascript.js

iroha様が使用されている「Season」スキンでは、JS（jQuery）によってカテゴリ名が削除される仕様になっています。
なので、サイトを表示する一瞬はカテゴリ名が出るのですが、上記のJSファイル読み込み後に消えてしまっているわけです。

表示されるようにする方法はいくつかあるのですが、スキン側でJSではなくPHPで表示/非表示を制御するべきではないかと個人的には思います。
表示/非表示は需要が分かれそうなので。

//リンクのないカテゴリーの取得
if ( !function_exists( 'get_the_nolink_category' ) ):
function get_the_nolink_category($id = null, $is_display = true){
if ($id) {
$categories = get_the_category($id);
} else {
$categories = get_the_category();
}
$display_class = null;
if (!$is_display) {
$display_class = ' display-none';
}
//var_dump($categories);
if ( isset($categories[0]) ) {
$category = $categories[0];
return '<span class="cat-label cat-label-'.$category->cat_ID.$display_class.'">'.$category->cat_name.'</span>';
}
}
endif;
//リンクのないカテゴリーの出力
if ( !function_exists( 'the_nolink_category' ) ):
function the_nolink_category($id = null, $is_display = true){
echo get_the_nolink_category($id, $is_display);
}
endif;

https://github.com/yhira/cocoon/blob/master/lib/utils.php

つまり上記コードにある関数に対して制御するべきかと。
例えば、各々のthe_nolink_category内の$is_displayにフックを設けておくなど。

具体的な表示方法については、わいひら様の判断を待ってからにしたいと思います。

とりあえずスキンの仕様ってことですかね❦

スキン作成者さんが自由にカスタムしやすいようやってるので。そのスキンではそのような仕様で

さらに上書きするコード紹介があれば、スキン利用者の自由に子テーマでカスタマイズできそうかも。

【補足】

各々のthe_nolink_category内の$is_displayにフックを設けておく

the_nolink_category関数に渡す変数$is_displayにフックを設ける場合の例：

the_nolink_category(null, apply_filters('entry_card_nolink_category', true));

https://github.com/yhira/cocoon/blob/master/tmp/entry-card.php

など、同様にそれぞれのthe_nolink_category関数にフックを用意。

すると、

add_filter('entry_card_nolink_category', '__return_false');

で非表示。

スレ主トピック主さんに❦

なんかスミマセン。言葉足らずだったので、来てみたんですね。どうしようか迷ったけど、ちょっとだけ続けさせていただこうかな ? 

スキン側は色々制御できるようになってるんです。例えば、Cocoon設定で変更してもそれが反映されない事もあったりするんですね。

意図してそのようにしているので、親テーマ側の仕様変更が無い限り、子テーマ側で変更を行うようなシステムで。

良い面としては、何も考えなくても素敵な見栄えになったり、CSSの容量がホンノリ減る面もあります。※子テーマ側で何も触らなければ。

*追記
※親テーマの上書きを繰りかえすけど、制御によってCSSの容量がホンノリ減る面もある

ユーザーさん的に、これをしたい。ここが反映しない。って事がある点が悩ましい所かもですね。

使用されているのは、Season（Winter）スキンのようなので、以下の方法で子テーマ内でスキンをカスタマイズすることが可能です。

1. 親テーマのskinsフォルダ内からskin-season-winterフォルダをコピー
2. 子テーマのskinsフォルダ内に貼り付け
3. 子テーマ内のskins/skin-season-winterフォルダを開く
4. javascript.jsファイルを開く
5. 後述するjQueryをを削除
6. Cocoon設定から子テーマ側の「[Child]Season（Winter）」スキンを選択する

削除するコードはこちら。

$(function () {$('.entry-card .cat-label').remove();});
$(function () {$('.related-entry-card .cat-label').remove();});
$(function () {$('.carousel-entry-card .cat-label').remove();});

皆様ご回答いただきありがとうございます。

原因及び解決方法について理解しました。

Cocoon設定から子テーマ側の「[Child]Season（Winter）」スキンを選択する

かなり手っ取り早いのに簡単で対応しやすい方法で、分かりやすいですね。

何かあれば、この内容を参考に回答もしやすいかも。