原因を探るにも、詳しい情報が必要です。
よろしければ環境情報をいただいてよろしいでしょうか。
https://wp-cocoon.com/theme-report/

また、エラーメッセージが出ている画面をキャプチャして画像をアップしていただいてよろしいでしょうか。

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サイト名：オカマ主婦の恋愛術
サイトURL： https://24hour.jp
ホームURL： https://24hour.jp
コンテンツURL：/wp-content
インクルードURL：/wp-includes/
テンプレートURL：/wp-content/themes/cocoon-master
スタイルシートURL：/wp-content/themes/cocoon-child-master
子テーマスタイル：/wp-content/themes/cocoon-child-master/style.css
スキン：/wp-content/themes/cocoon-master/skins/skin-template/style.css
Wordpressバージョン：5.1.1
PHPバージョン：7.1.5
ブラウザ：Mozilla/5.0 (Linux; Android 8.0.0; FIG-LA1) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/74.0.3729.112 Mobile Safari/537.36
サーバーソフト：Apache
サーバープロトコル：HTTP/1.1
エンコーディング：gzip, deflate, br
言語：ja,en-US;q=0.9,en;q=0.8,zh-TW;q=0.7,zh;q=0.6
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テーマ名：Cocoon
バージョン：1.7.6
カテゴリ数：10
タグ数：15
ユーザー数：1
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子テーマ名：Cocoon Child
バージョン：0.0.5
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Gutenberg：1
AMP：0
PWA：1
ホームイメージ：/wp-content/uploads/2018/11/IMG_20181127_145216.jpg
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ブラウザキャッシュ有効化：1
HTML縮小化：1
CSS縮小化：1
JavaScript縮小化：1
Lazy Load：1
WEBフォントLazy Load：1
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利用中のプラグイン：
Akismet Anti-Spam 4.1.1
Contact Form 7 5.1.1
Google XML Sitemaps 4.1.0
Rinker 1.4.7
WebSub/PubSubHubbub 3.0.2
WP Fastest Cache 0.8.9.2
WP Fastest Cache Premium 1.4.2
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ロリポップ使ってますがWAFも無効にしてます

自分のサイト内であれば埋め込見は可能、Twitter等にも貼り付けることは出来ますが、他サイトに埋め込みする時のみできません

ブログカードを作りたいってことですか？

それとも埋め込みURLが必須ってことですか？

一時的にデフォルトテーマに変更して、同じようにすればどのようになりますか？

あとWAFはセキュリティ面を考慮すれば、有効にしている方が良いと思います。誤認は多いですけど

「コクーンの記事を別サイトにはる」ということが、「外部ブログカードを貼る」ということでよろしいのでしょうか？
それでしたらそのように表示されるのはWordPressの仕様です。
そのまま投稿すれば、ブログカードになるかと思います。
https://wp-cocoon.com/gutenberg-blogcard/

もし違うことであれば、何をしたかったのかを詳しく書いていただけると助かります。