●回答

マニュアルを読みましょう。

https://wp-cocoon.com/category-label-hooks/

ソースコードの部位

https://github.com/xserver-inc/cocoon/blob/3a23ba47d805b9a88ed2d07e5a22e441edbf3c2b/lib/html-forms.php#L1402-L1406

add_filter('is_new_entry_card_category_label_visible', '__return_true');

ありがとうございます。
アイキャッチ部分に追加することはできるんですね！

日付の横に表示させたい場合は、cssで移動するしか方法はないでしょうか？

もし可能なら、

日付 カテゴリータグ
タイトル

のような並びも変えたいと思っているのですが、難しいでしょうか？

日付の横に表示させたい場合は、cssで移動するしか方法はないでしょうか？

●回答

以下の案が考えられます。
ご自身の実力にあった方法を選んでください。

なお、できない場合、有償にて業者に依頼願います。

△CSSでレイトを変更

カテゴリーラベルと日付で親要素が異なります。
CSSで可能ですが、カテゴリーラベル（赤）の原点が日付（青）と異なるため、日付の後ろにカテゴリーラベルを綺麗に配置するのに調整が必要です。

×フックでレイアウトを変更

do_shortcode_tagを用いnew_listが出力するHTMLタグを操作します。
preg_replace_callbackで置き換えすれば可能ですが複雑です。

○JSでレイアウトを変更

フックで置き換える際、PHPのDOMDocumentで要素操作が可能でですが、それならJSで操作します。
簡単にできますが、ページを表示する際、動的にレイアウトを変更することとなります。

○new_listカードの関数を変更

以下の関数をfunctions.phpにコピーし、レイアウトを変更します。

https://github.com/xserver-inc/cocoon/blob/3a23ba47d805b9a88ed2d07e5a22e441edbf3c2b/lib/html-forms.php#L1596-L1698

●答え

別の方法。

1. functions.phpに関数generate_widget_entry_card_dateをfunctions.phpにコピー。
2. 以下に追加。

   get_the_nolink_category($post_id);

   https://github.com/xserver-inc/cocoon/blob/3a23ba47d805b9a88ed2d07e5a22e441edbf3c2b/lib/html-forms.php#L1452

3. style.cssに以下を追加。

   /* カテゴリーラベル基準変更 */
   .new-entry-cards .cat-label {
   position: unset;
   }
   
   /* タイトル、日付の並び順変更 */
   .new-entry-card-content {
   display: flex;
   flex-direction: column-reverse;
   }

以下の誤記。

echo get_the_nolink_category($post_id);

すいません。

私がやりたい部分はウィジェット部分に表示される新着記事なのですが、
教えていただいたコードでは発動しないですか？

添付した画像はウィジェットエリア「サイドバー」に、新着記事を表示した結果です。

投稿者:: @yyy_mihimi

↑

私がやりたい部分はウィジェット部分に表示される新着記事なのですが、
教えていただいたコードでは発動しないですか？

コードの中身を理解していますか？
単にコピペするのではなく、仕組みを理解してください。

まず[C]新着記事ウィジェットには日付を表示する設定はありません。

日付はブロックとショートコードです。
結果、カスタムHTMLウィジェットに［new_list date=1］とショートコードを入力することになります。