以下の手順で実装出来るかと思います。

まずは以下のファイルでテーマをアップデート。
https://github.com/yhira/cocoon/archive/master.zip

子テーマのfunctions.phpに以下のコードを追記。

//振る舞いを付加した新着記事ショートコード機能
add_filter( 'widget_new_entries_args', function ($args){
  //振る舞い（action）がolder_listのとき
  if (isset($args['action']) && $args['action'] == 'older_list') {
    $args['order'] = 'ASC';
  }
  return $args;
} ); 

最後に以下のようなショートコードにする。振る舞い（action）オプションをしっかりとし書き込む必要があります。

[new_list count="5" type="default" cats="all" children="0" post_type="post" action="older_list"]

＞わいひらさん

ご返答ありがとうございます。

コメントに記載の手順で作業してみたところ、無事に 古→新 というように変更することが出来ました。

また、重ねての質問、大変恐縮ですが、以下の2つのやり方についても、さしつかえなければ教えて頂けないでしょうか。

1. カテゴリ内の特定の記事だけを表示させたい場合（post=*****で指定？）
2. 逆にカテゴリ内の特定の記事だけ非表示にしたい場合

これらが必要な理由としましては、以下のようなコンテンツを固定ページで作っており、左端の「イチオシ」に私が独自に勧めたい記事を起いてます。

しかし、新着記事と人気記事でも同じ記事が表示されダブりが発生してしまう（画像の赤丸の記事）ので、「イチオシ」で表示させた記事は「新着記事」、「人気記事」では非表示にしたいと思ったのです。

何卒、よろしくお願い致します。

案内①にもあるように、一つのトピックについて一つの質問にしていただいてよろしいでしょうか。

書き込みの前に以下の3点をご確認ください。

1. 1つのトピックにつき1つの質問を書き込んでください
2. 不具合・カスタマイズ対象ページのURLを提示してください
3. 該当部分のキャプチャ・環境情報とともに書き込んでいただけると助かります

また、サポート対象外のものにもあるように、PHPのカスタマイズは必ずしもサポートできるかわからないのでご了承ください。

＞わいひらさん

大変失礼致しました。上記質問は別のトピックを作成いたします。