●回答

「カテゴリー」および「アーカイブ」ウィジェットでは、図示したように「投稿数を表示」オプションを設定できます。
ただし、「アーカイブの全記事数」という設定項目は存在しません。

grayish作成者には問合せましたか？

●お願い事項

対面ではないため、上記では情報不足です。

恐れ入りますが、フォーラムのルールに従って、Cocoon環境の提示をお願いいたします。
その際、高速化の設定を無効にしてください。
また、ウィジェットの画面キャプチャも合わせてご提供ください。

環境情報の取得方法はこちら。
→  https://wp-cocoon.com/theme-report/
高速化設定を無効にするにはこちら。
→  https://wp-cocoon.com/theme-trouble/

tanumiso1011さん

tanumiso1011さんは、おそらくWordPressインストール時に、デフォルトで設定されていたウィジェットをそのままご利用ではないかと思います。

初期設定で設定されているものは、ブロックウィジェットです。
Cocoonは、ウィジェットブロックエディタには対応していません。

（カテゴリー・アーカイブ以外のものも、ブロックウィジェットのようです）

「外観」－「ウィジェット」画面の左側から、ウィジェットを設置し直してください。

書き込みの前に以下の3点をご確認ください。

1. 1つのトピックにつき1つの質問を書き込んでください
2. 不具合・カスタマイズ対象ページのURLを提示し高速化を無効にしてください
3. 該当部分のキャプチャ・環境情報とともに書き込んでいただけると助かります

お問い合わせは、文字だけでは伝わりにくいことも多いです。
画像添付も、ご検討ください。

フォーラムマナー・ルールにご協力をお願い致します。

【追記】

被りました。

tanumiso1011さん

以下のような表示であれば、ブロックウィジェットです。

@mk2_mk2 私の方は見せていただいた画像ですのでおっしゃる通り、ブロックウィジェットです。次回からできるだけ画像添付させていただきます。

@chu-ya 「アーカイブの全記事数」という設定項目が存在しないことは了解致しました。ありがとうございます。
またgrayish作成者の方へは問い合わせていません(どうすればいいかわからずで)。

>Cocoon環境の提示をお願いいたします。

以下です。
----------------------------------------------
サイト名：ステイウィズドッグ動画
サイトURL： https://staywithdog.com
ホームURL： https://staywithdog.com
コンテンツURL：/wp-content
インクルードURL：/wp-includes/
テンプレートURL：/wp-content/themes/cocoon-master
スタイルシートURL：/wp-content/themes/cocoon-master
親テーマスタイル：/wp-content/themes/cocoon-master/style.css
スキン：/wp-content/themes/cocoon-master/skins/skin-grayish-topfull/style.css
WordPressバージョン：6.6.1
PHPバージョン：8.3.8
ブラウザ：Mozilla/5.0 (Linux; Android 6.0; Nexus 5 Build/MRA58N) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/128.0.0.0 Mobile Safari/537.36 Edg/128.0.0.0
サーバーソフト：Apache
サーバープロトコル：HTTP/1.1
エンコーディング：gzip, deflate, br, zstd
言語：ja,en;q=0.9,en-GB;q=0.8,en-US;q=0.7,zh-TW;q=0.6,zh;q=0.5
----------------------------------------------
テーマ名：Cocoon
バージョン：2.7.7
カテゴリー数：50
タグ数：0
ユーザー数：1
----------------------------------------------
Gutenberg：1
Font Awesome：5
Auto Post Thumbnail：0
Retina：0
ホームイメージ：/wp-content/themes/cocoon-master/screenshot.jpg
----------------------------------------------
ブラウザキャッシュ有効化：0
HTML縮小化：0
CSS縮小化：0
JavaScript縮小化：0
Lazy Load：0
----------------------------------------------
利用中のプラグイン：
Category Order and Taxonomy Terms Order 1.8.5
Contact Form 7 5.9.8
Favorites 2.3.4
Flamingo 2.5
UpdraftPlus - Backup/Restore 1.24.4
Video Blogster Lite 1.2
----------------------------------------------

>その際、高速化の設定を無効にしてください。

対応しました。

また、ウィジェットの画面キャプチャも合わせてご提供ください。

> https://akaeho.com/wp-widget-menu/ を参考にさせていただいて、ウィジェットを入れ替えましたら、添付画像のようになり、「カテゴリー」および「アーカイブ」ウィジェットで「投稿数を表示」できるようになり、サイトで確認できました。