テーマカスタマイザーで.icoファイルを設定するのではだめなのでしょうか。

そうでないとしたらこうするしかないかもしれません。
https://www.checksite.jp/wordpress-favicon/

わいひらさん、お返事ありがとうございます！
わいひらさんから直々のお返事をいただけて恐縮しつつ、感激しております。
本当に素晴らしいテーマの開発とご提供をありがとうございます。

私のロゴは48px以上ですと問題ないのですが、32px や 16px ではつぶれてしまうため、
ロゴの文字（アルファベット）部分は取って、マークだけにしたマルチアイコンをこれまで使用していました。
できればCocoonでもそれをそのまま使いたいなと考えた次第です。

わいひらさんが教えてくださったサイト様も拝見しましたが、
>４．HTML header で favicon.ico の場所を指定
header.phpで当該箇所が見つけられず、あるいはどこに記述すべきか分からず、つまずいてしまいました。

そして行き詰って、ふとページのソースを見ていて下記の行があることに気づきました。

<!-- Cocoon site icon -->
<link rel="icon" href="http://☆.jp/wp-content/themes/cocoon-master/images/site-icon32x32.png" sizes="32x32" />
<link rel="icon" href="http://☆.jp/wp-content/themes/cocoon-master/images/site-icon192x192.png" sizes="192x192" />
<link rel="apple-touch-icon" href="http://☆.jp/wp-content/themes/cocoon-master/images/site-icon180x180.png" />
<meta name="msapplication-TileImage" content="http://☆/wp-content/themes/cocoon-master/images/site-icon270x270.png" />

ひょっとしてここに
<link rel="shortcut icon" href="https://☆.jp/favicon.ico">
と追記できたら解決するかも？という素人考えが浮かびましたが、こちらは親テーマで記述されているものでしょうか？（テーマエディタで親子両方をあちこち見てみましたが自分ではどうしても見つけられず、厚かましい質問となりすみません・・・。）

もし親テーマでの記述であったり、追記が難しい場合は、上記4つの画像ファイルをFTPで直接上書きすることで対応する案も思いつきました。
そうすれば今後の親テーマのご更新時にも特に何もしなくて良くなるかな、と・・・。

もしよろしければ、今一度アドバイスをいただけましたら幸いです。
お手数をおかけいたしますが、どうぞよろしくお願いいたします。

アップデートの影響を受けずに書くとしたら、テーマカスタマイザーのサイトアイコンを無効にした上で、子テーマのfunctions.phpに以下のコードに書き換えると多分できるかと思います。
ただ、動作確認はしていないので正しく動作するかは保証できません。

//デフォルトアイコンを変更する
add_filter('add_default_site_icon_tag', function (){
  return '<link rel="shortcut icon" href="https://xxxxxxxxxxx/favicon.ico">';
});

わいひらさん、ありがとうございました！
ご教示いただきました方法を試してみて、結果をご報告させていただきます。m(_ _)m

わいひらさん

ありがとうございました！！ご教示いただいた方法で、無事に即時に反映されることが確認できました。
本当に本当にありがとうございました！