chu-yaさん

メニューの件は、分かりませんが…。
（只今スマホのもので、まだ調べていないです。）

ウィジェットの件は、WordPressでは割とある話しみたいです。
（Cocoonという訳ではなく）

WordPressテーマ更新で消えたウィジェットを復元する方法
https://ac-as.net/post-2087/

ウィジェットの件は、かなり昔からあるようです。

いくつかネットに書かれていましたが、同じような内容でした。
WordPress本体の何か・・・のようです。

基本的には別テーマに変更するとウィジェットによっては起こるけれど、何故か同じテーマのアップデートでも起きてしまう？
（今でもそうなのでしょうか、ネットでは割と近い日付のものもあった気はしますが）

ちなみに、Simplictyのフォーラムにもありました。
（結構前のものですが）

Simplictyの親テーマアップデートでウィジェット設定がリセットされてしまう
https://wp-simplicity.com/suport/topic/simplicty%e3%81%ae%e8%a6%aa%e3%83%86%e3%83%bc%e3%83%9e%e3%82%a2%e3%83%83%e3%83%97%e3%83%87%e3%83%bc%e3%83%88%e3%81%a7%e3%82%a6%e3%82%a3%e3%82%b8%e3%82%a7%e3%83%83%e3%83%88%e8%a8%ad%e5%ae%9a%e3%81%8c/#post-53775

メニューの件は、見つからず・・・。

僕自身はそういう症状になったことはないですね。
Cocoon自体はアップデート機能に変更は加えていない（というか複雑そうなので下手に触りたくない）のでアップデートは完全にWordPressの機能に丸投げという感じです。
もちろん、Cocoonで何かしら余計なコードを書いていて不具合が出ている可能性もないとは言い切れませんが、Cocoon側で積極的にアップデート機能には介入はしていないです。

本件はこれでクローズします。

●ｍｋ２さん

参照先の通り、まるで同じ動作です。
調べて頂きありがとうございます。

●わいひらさん

了解しました。
様子みます。

●ご参考

[外観]→[カスタマイズ]→[ウィジェット]→[サイドバー]
を見るとカスタムHTMLがグレーアウトされているので、それと関係があるのかも。

chu-yaさんが添付くださった画像のような状態は初めて見ました。
（普段、「外観」－「カスタマイズ」からウィジェットを設定しないからだと思います。）

そこで、私の環境でも確認してみました。

すると、以下のようにグレーアウトしているものがありました。

先程の2つめの環境でグレーアウトになるケースがありました。

当サイトの全てのウィジェットエリアを確認してみましたが同様の現象を確認できませんでした…。
ローカル環境で色々テストしてみたものの、同様の症状は現れず…。
どういう現象なんだろう…。

今のところ、まったく分からないのですけれど。

以下に記載の事象みたいです。
（でも、読んでも良く分からないですし、かなり古いものみたいです）

wp_query in form method of widget breaks customizer
https://wordpress.stackexchange.com/questions/175549/wp-query-in-form-method-of-widget-breaks-customizer

上記にある以下が、私のローカル環境と同じでした。

.customize-control-widget_form:not(.widget-rendered) {
  opacity. 0.5
}

後、同じような感じなのは、以下でしょうか・・・。

Mark controls for widgets not rendered on URL currently previewed #65
https://github.com/xwp/wp-widget-customizer/issues/65

でも、今のところまったく分からないです。

何となく原因が分かり。
バージョンアップの際、以下の手順で作業をしていた。

1. Cocoon子テーマ→他のテーマ（例：Twenty Seventeen）に変更。
2. Cocoonテーマ親テーマをバージョンアップ。
3. 他のテーマ（例：Twenty Seventeen）→Cocoon子テーマに変更。

他テーマで使えないウィジェットが、使用停止中のウィジェットになったと思われます。