以下の対応をして思ったことがあり。

https://wp-cocoon.com/community/postid/85052/

試しにテンプレート化してみましたが、単に置き換えるだけでなく、関数全体を見直した方が望ましいと思え。
以前、話したテンプレートの第三パラメータをサポートしてます。

今回のようにレイアウト変更をするなら、関数を子テーマにコピーし修正するのが望ましいと思え。
このため、要望でもないので、雑談として記録に残します。

----------------------------------------------
テーマ名：Cocoon
バージョン：2.8.5.5
カテゴリー数：18
タグ数：122
ユーザー数：1
----------------------------------------------

●目的

新着記事・ナビカード、人気記事のHTML部をテンプレート化する。
テンプレートフックにより、カードごとの処理が可能になる。

先の質問の対応してdo_shortcode_tagフックを用いた場合、新着記事全体が対象となる。
このため、preg_replaceでは複雑になり、またDOMDocumentで処理するならPHPでなくJSの方が楽となり。
そこで、カードをテンプレート化すると、HTML対象が小さくなるので、preg_replaceも複雑にならずに済み。

add_filter('cocoon_part__tmp/widget-entry-card', function($content, $args) {
  if ($args['prefix'] == WIDGET_NEW_ENTRY_CARD_PREFIX) {
    $html = get_the_nolink_category(get_the_ID(), 1)
    $content = preg_replace(
      '/(<div class="new-entry-card-date[^"]*widget-entry-card-date[^"]*">.*?)(<\/div>)/is',
      '$1' . $html . '$2',
      $content
    );
  }
  return $content;
});

人気記事も同様なので省略します。

●tmp/widget-entry-card.php

関数get_widget_entry_card_link_tagのHTMLの部分を抜き出しテンプレート化。

https://notepad.pw/share/pifau1Z46F877RMsFTa0

●html-forms.php

関数get_widget_entry_card_link_tagのHTML部分をテンプレート呼び出しに変更。

https://notepad.pw/share/aA0v46Cm6hOnJiHkUWsG

●utils.php

関数cocoon_template_partに第三パラメータを追加し、get_template_partに渡す。
cocoon_part__{$slug}フックに第二パラメータを追加し$argsを渡す。

https://notepad.pw/share/m3O4B7t7eYTqz68v5aRr