独自カスタマイズをしている場合は、何が原因かわからなくなるので、できれば以下の方法で、高速化設定を無効にしてソースコードを見やすくしていただいてよろしいでしょうか。
https://wp-cocoon.com/theme-trouble/

①に関しては、僕のローカル環境で同様の状況を無理やり再現してみたのですが、IEでもデフォルトで真ん中に表示されます（添付画像）。

②③④に関しては、同一トピック内で複数の話題が進行すると、わかりづらくなるので、該当部分の内容のコピペで良いので新しいトピックをそれぞれ立てていただいてよろしいでしょうか。

大変失礼しました。
取り急ぎ、高速化設定を無効にしました。
ロゴに関して、IEでの表示を画像で添付します。

残りの話題に関しても、IEという同一の問題と認識してしまっており、失礼しました。
別々でトピックをたてさせていただきます。

hirano50さん

1 につきまして

以下のページが参考になるかもしれないと思い、書き込ませていただきました。

https://webkcampus.com/201903/1557/

http://neos21.hatenablog.com/entry/2018/03/11/080000

どうもcssのFlexboxのIEのバグ（と言ってもIEが古いので仕方ないのですが）のようです。

_:-ms-lang(x)::-ms-backdrop, .header .header-in {
padding-top: 14px;
}

cssでロゴの親のboxの上側にパディングをつけたらどうかと考えたのですが、ヒントになれば幸いです。

上記に追記：

上記の方法だと、画面幅によっては、ロゴが上下中央にならないので、メディアクエリを２つほど追加しないといないないかもしれません。

.header .header-in {
	min-height: 0;
}

例えば。

これだとデザインが変わってしまってダメですかね？

大丈夫であれば。ですけど、
.hlt-top-menu-wrap .header .header-in
にするとか？

leafytree様

_:-ms-lang(x)::-ms-backdrop, .header .header-in {
padding-top: 14px;
}

こちらの記述でIEでも上下中央にできました。
画面幅はちょっと試しようがなかったですが、ブラウザの幅を変えてみたりした場合でも、きちんと表示されていました。
多分大丈夫だと思いますので、これで様子見してみたいと思います！
ありがとうございます！

かうたっく様

.header .header-in {
	min-height: 0;
}

こちらを試してみたおかげで気付いたんですが、COCOONのヘッダー設定で、高さを広めに設定した場合、ロゴの縦位置は変わらず、広げた分だけ下が広くなってしまう…という事にやっと気づきました。

つまり高さ設定さえしなければ、追加CSSに何の記述をしなくても、デフォルトのままでIEでもちゃんと中央になりました…

ほんの少し広げるかどうかの選択だけですので、そこまでこだわることもないなとは思ったんですが、leaftyさんのやり方をやってみたところ、幅を広げても意図した通りで表示できました。

画面幅によっては・・・という可能性もあるようですので、とりあえずはこの状態で不具合がないか様子見してみたいと思います。

本当にありがとうございます。