ご連絡ありがとうございます。

とりあえず一つずつ。

投稿者:: @momizibafu

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1、その他タブの中にあるファイルシステム認証(KUSANAGI)の解説ページが404で存在しない。 https://wp-cocoon.com/0-3-8/

からも同じページが404。

表示させておきました。
https://wp-cocoon.com/kusanagi/

投稿者:: @momizibafu

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2、SNSシェアタブの中、トップシェアボタンの表示をオフにしていてもタイトルとURLをコピーを動作させるコードが全てのページのフッターに出力されてしまう。ただし、タイトルとURLをコピーをオフにしてれば出力されないので、これをチェックしなければ問題は無い。

この「全てのページのフッター」というのはフッターウィジェットということでしょうか？
よろしければスクリーンショットがあれば助かります。

投稿者:: @momizibafu

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ついでに言えば、現在のタイトルとURLをコピーを動作させるコードはpagespeedで「最新ブラウザに従来の JavaScript を配信しないようにしてください」の指摘を受ける原因となっている。他の書き方が良いのかも。

恐れ入りますがこれもお手数ですがその部分のスクリーンショットをいただければ幸いです。
今ちょっとPageSpeed Insightsで確認した限りではどの部分かちょっと分からなくて。

投稿者:: @momizibafu

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3、webp化しているサイトの場合、コクーンのブラウザキャッシュ設定にwebpが含まれていないために、デベロッパーツールで見るとデフォルトが適用され1秒キャッシュになってしまう場合がある(pagespeedでは指摘されない)。webpと (ついでにavif等?）の追加をしたらどうでしょう？

GitHubのリポジトリの方追加しておきました。に
今後のアップデートで反映されます。

https://github.com/xserver-inc/cocoon/commit/f8268705061019f6aa6b669700b588a56aed7bec

投稿者:: @momizibafu

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4、要望
tmp/entry-card.phpの 'loading' => 'lazy',を削除の要望。
記述しなくてもWP本体が書き込んでくれる(確認済)し、本体が最初の画像を除外してくれるようになる。2・3個除外とかすべて除外などのコントルールもできるようになるから。

そうですね。
ヘッダーの高さによってはentry-cardももファーストビューに入ってしまいますものね。
削除しておきました。
https://github.com/xserver-inc/cocoon/commit/f5f44aa325acb8922be4591046c6e01e0dffdd5b

お忙しい中、対応ありがとうございます。

2はボタンは表示されていないににコードだけ出力されている状態というで、今試したらトップページ、個別ページ、カテゴリーで表示されていました。でも不具合というほどでは無いです。タイトルとURLをコピーを外せばコードは消えるので。

pagespeedに指摘される点ですがclipboard.min.jsのところが「最新ブラウザに従来の JavaScript を配信しないようにしてください 5 KiB 削減可能」「テキスト圧縮の有効化0.15s」が再現出来ました。赤色の警告の時もあれば黄、緑の場合もありました。
これは微々たるロスなので、気にするほどのことではないですね。変なとこ指摘してスイマセンでした。

    <div class="copy-info">タイトルとURLをコピーしました</div>
  <script src="//cdn.jsdelivr.net/clipboard.js/1.5.13/clipboard.min.js"></script>
  <script>(function($){selector='.copy-button';
    $(selector).click(function(event){
      event.preventDefault()});
    var clipboard=new Clipboard(selector);clipboard.on('success',function(e){$('.copy-info').fadeIn(500).delay(1000).fadeOut(500);e.clearSelection()})})(jQuery);</script>
  </div><!-- #container -->

投稿者:: @momizibafu

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2はボタンは表示されていないににコードだけ出力されている状態というで、今試したらトップページ、個別ページ、カテゴリーで表示されていました。でも不具合というほどでは無いです。タイトルとURLをコピーを外せばコードは消えるので。

ようやく意味が分かりました。
ご説明いただきありがとうございます。
該当部分を修正しておきました。
https://github.com/xserver-inc/cocoon/commit/500a32e9ebea9c5c13a958530fcc2b341ccbc7ec

どれも素早く対応してくださりビックリです。

本当に素晴らしいテーマありがとうございます。