僕の環境では、問題なく保存されるようです。
まず、その前にカスタマイズ下部分をfunctions.phpから削除して保存すると動作するのでしょうか？
それでも動作しない場合は、何か他に原因がある可能性があります。

こんにちは。早速返信いただきありがとうございます！
カスタマイズ部分をfunctions.phpから削除すると、通常通りCocoon 設定の「変更をまとめて保存」ができます。

プラグインすべての無効やCocoon設定のリセットを試しても改善しませんでした。

色々試したところ、カスタマイズしたコードの「get_search_form()」を削除すると「変更をまとめて保存」ができるようになりました。

今回、フィルターフックで検索窓を追加するのは諦め、
別の箇所で表示させた検索窓をjqueryで移動させることで実現したのでご報告します。

▼/themes/cocoon-child-master/functions.php
https://notepad.pw/52a7tej
→フィルターフックで検索窓の外枠となる要素を追加

▼/themes/cocoon-child-master/tmp-user/main-before.php
https://notepad.pw/wbet723
→メインコンテンツ前に検索窓を追加

▼/themes/cocoon-child-master/javascript.js
https://notepad.pw/1slzy5d1
→jQueryで先ほどフィルターフックで追加した要素に検索窓を移動

あまりスマートな方法ではないですが、実現はできたのでこれで運営しようと思います。他に良い方法がありましたらご連絡いただけると助かります。

よろしくお願いします。

僕の環境では、動作しているので、もしかしたら何かしらプラグインと干渉してる可能性もあるのかもしれません（干渉しそうなプラグインは一覧にはなさそうだけど）。

get_template_part('searchform');

でもダメなようなら、ちょっと外部からは原因はわからないかもしれません。

jQueryで意図通り表示される場合は、それで問題ないと思います。
少なくとも、プラグインと干渉はしづらく、少なくとも「保存ができなくなる」といったPHP動作に影響が出ることはないので。

コメントありがとうございます。
ご指示いただいたタグを試しましたが、状況は変わりませんでした。
※検索窓は表示されましたが、Cocoon設定の保存ができない状態。

試しに、以下ファイルに「get_template_part('searchform');」を直接追加しましたが、
同じ状態になりました。

▼/themes/cocoon-child-master/tmp/navi.php
https://notepad.pw/1f8vdsty
→先頭にget_template_partを追加

状況的には、jQueryで実装できたので問題ないです。
丁寧なご対応ありがとうございます！

Cocoonは欲しかった機能がほぼ入っていて本当に使いやすいです。
プラグインをたくさん入れる必要がなくなったので、プラグインの管理も楽になりました。今回初ブログ挑戦ですが、Cocoonテーマで頑張りたいと思います。

こちらの件、具体的な原因がわかりましたら報告いたします。
本当にありがとうございました。

こんにちは。

もしかしたらウィジェットとCSSでいけそうにも思います。

スマホ・PC用に指定したテキストもしくはHTMLウィジェットを上のほうに設置。

場所的に問題あるなら、PHPファイルを作ってメニュー下にPC・モバイルを分岐して設置。

後はCSSでメニューの位置にスペースを作って、領域を移動するなど。

モバイルはスライドイン用のSearchFoam（確認してません）があれば、読み込むように考えてみるなどです。

実際見てみないと不明ですし、一見ややこしそうですが、やり終われば簡単かも知れません？？？

わいひら様
今更で恐縮ですが、私も同様の変更（ヘッダーに検索フォームを表示）をしたいと思い、tsumire様のコードを追加したところ、事象が再現しました。
参考になるか分かりませんが、切り分けのため色々試したことを記載します。

■事象詳細

tsumire様と同じです。ただ、付け加えることがあるとしたら、

• 「変更をまとめて保存」クリック後、他のタブにいても必ず「全体」タブに戻ります。
• ブラウザのタブ機能等で「Cocoon設定」と「テーマエディター」を同時に表示させた状態で、「テーマエディター」でコード追加した場合、「Cocoon設定」をリロード（更新）しなければ「変更をまとめて保存」可能です。ただし、一度でもリロードするとNGです。

■試したこと（以下、全部NG）

• 「get_search_form();」を「get_template_part('searchform');」に変更
• 「ob_start();」～「ob_end_clean();」までを削除し、「$items .= '<li>' . $searchform . '</li>';」を生成後のHTMLコードに置換（※置換後：「$items .= '<li><form class="search-box input-box" ～中略～ </form></li>';」）
• 上記実施後、「<form></form>」以外のHTMLコードを削除

なお、何の切り分けにもならないかもですが、「$items .= '<form>';」（</form>タグ無し）ならOKでした。

以上、何かのお役に立てば幸いです。また、他に試行することや取得すべき情報等ありましたらご教示ください。

なお、何の切り分けにもならないかもですが、「$items .= '<form>';」（</form>タグ無し）ならOKでした。

なるほど、Cocoon設定はformを利用しています。
なので、カスタマイズすることで「Cocoon設定のform」の中に「ヘッダープレビューで表示されるform」ができてしまうため、設定が保存できないのかもしれません。
そういう場合は、親テーマの/lib/_defins.phpの以下の部分を

define('DEBUG_ADMIN_DEMO_ENABLE', 1);

以下のようにすると良いかもしれません。

define('DEBUG_ADMIN_DEMO_ENABLE', 0);

ただしこのカスタマイズを行うと、Cocoon設定のプレビュー表示が表示されなくなります。

わいひら様
早速のご返信ありがとうございます。
私も同じくプレビュー機能を疑いました。ただ、教えていただいた変更を試みましたが、残念ながら事象は改善せずでした。

少し気になるのは、サイドバーにウィジェットで検索フォームを追加した際は問題なく動作するのです。
プレビューが原因なら、ヘッダーに追加した場合と同様の事象が起こっても良い気がするのですが…。

define('DEBUG_ADMIN_DEMO_ENABLE', 0);

これ、実際の動作を見てみたら、ヘッダープレビューは非表示になっていませんでした。。

なので、以下の手順でヘッダープレビューを非表示できるようにします。

まず以下の最新版のCocoonでテーマはアップデートします。

https://github.com/yhira/cocoon
最新ファイルをダウンロードする場合は、上記ページのダウンロードボタンからzipファイルをダウンロードしてください。
https://wp-cocoon.com/wp-content/uploads/2019/01/github-zip.png

次に、子テーマのfunctions.phpに以下のコードを貼り付ければヘッダープレビューを非表示にしてCocoon設定が保存できるようになるかと思います。

//ヘッダー
add_filter('cocoon_setting_preview_header', '__return_false');

もし、上記コードでうまく動作しない場合は、以下のコードを子テーマのfunctions.phpに追記してみてください。

//////////////////////////////////////////////
//全てのCocoon設定プレビューを非表示にする（フォント以外）
//////////////////////////////////////////////
add_filter('cocoon_setting_all_previews', '__return_false');

こちらは、すべてのプレビューを非表示にできます（フォントプレビュー以外）。

ついでなので、個別のプレビュー表示を制御出来るフックも追加しておきました。

//////////////////////////////////////////////
//個別のCocoon設定プレビュー非表示制御
//////////////////////////////////////////////
//全て
add_filter('cocoon_setting_preview_all', '__return_false');
//ヘッダー
add_filter('cocoon_setting_preview_header', '__return_false');
//スキン
add_filter('cocoon_setting_preview_skins', '__return_false');
//タイトル（フロントページ）
add_filter('cocoon_setting_preview_title_front', '__return_false');
//タイトル（投稿・固定ページ）
add_filter('cocoon_setting_preview_title_singular', '__return_false');
//タイトル（カテゴリーページ）
add_filter('cocoon_setting_preview_title_category', '__return_false');
//カラム
add_filter('cocoon_setting_preview_columns', '__return_false');
//インデックス
add_filter('cocoon_setting_preview_index', '__return_false');
//投稿（カテゴリー・タグ）
add_filter('cocoon_setting_preview_singular_categories_tags', '__return_false');
//投稿（関連記事）
add_filter('cocoon_setting_preview_singular_related_entries', '__return_false');
//投稿（ページ送りナビ）
add_filter('cocoon_setting_preview_singular_pager_post_navi', '__return_false');
//目次
add_filter('cocoon_setting_preview_toc', '__return_false');
//SNSシェア（トップ）
add_filter('cocoon_setting_preview_sns_share_top', '__return_false');
//SNSシェア（ボトム）
add_filter('cocoon_setting_preview_sns_share_bottom', '__return_false');
//SNSフォロー
add_filter('cocoon_setting_preview_sns_follow', '__return_false');
//画像
add_filter('cocoon_setting_preview_images', '__return_false');
//ブログカード（内部）
add_filter('cocoon_setting_preview_internal_blogcard', '__return_false');
//ブログカード（外部）
add_filter('cocoon_setting_preview_external_blogcard', '__return_false');
//コード
add_filter('cocoon_setting_preview_code', '__return_false');
//通知
add_filter('cocoon_setting_preview_notice', '__return_false');
//アピールエリア
add_filter('cocoon_setting_preview_appeal', '__return_false');
//カルーセル
add_filter('cocoon_setting_preview_carousel', '__return_false');
//フッター
add_filter('cocoon_setting_preview_footer', '__return_false');
//ボタン
add_filter('cocoon_setting_preview_buttons', '__return_false');
//モバイル
add_filter('cocoon_setting_preview_mobile', '__return_false');
//404ページ
add_filter('cocoon_setting_preview_404', '__return_false');

これで、フォントプレビュー以外は全ての個別プレビューを制御できます。

わいひら様
ご返信が遅くなり申し訳ありません。
また、プレビュー制御用のフィルターフックを実装いただきありがとうございます。
お陰様で、無事に設定を保存できるようになりました。
もともとのトピック主であるtsumire様に便乗した上、代替策で一度解決していたにも関わらず、
わざわざ機能改修までしていただき、感謝しかありません。
本当にありがとうございます。

今後とも、よろしくお願いいたします。

やはり、ヘッダープレビューが原因だったんですね。
うまくいったようでよかったです ? 
これも、以下の情報があったから思いつきました。

なお、何の切り分けにもならないかもですが、「$items .= '<form>';」（</form>タグ無し）ならOKでした。

こちらこそありがとうございます。