それは元々そういう仕様です。
Googleでカテゴリーがインデックスされる時には、大抵1ページ目のみが登録されるので、そのようにしています。

2ページ目以降もアイキャッチをということですが、何故そのような表示にする必要があるのか、その意図を教えていただければと思います。

わいひら様

お返事ありがとうございます！

2ページ目以降もアイキャッチを表示したかった理由は、「カテゴリー名を非表示にして、代わりにカテゴリーごとの画像を各カテゴリーページの上部に表示したい」「運用メンバーにはhtmlも全く分からない人間もいるので、今後の画像差し替えが直感的に行えるようにしたい」の2点でした。それにはアイキャッチ画像の機能が利用できると理想的かなと考えていました。

ただ、Googleのインデックスといったことを全く考えられていませんでした。また、上記の意図を改めて書いていると、ACFなどでカテゴリーにカスタムフィールドを追加すれば同じようなことができるのではないかと思い当たりましたので、いったんその方向で考えてみようかと今は思っております。

もしもっと簡単な方法がありましたら、ご教示いただけますと幸いです。

なるほど、意図はよくわかりました。

そのように、カスタマイズする最も簡単な方法は、親テーマのtmp/list.phpを、子テーマのtmp/list.phpにコピペして、「アーカイブタイトル」部分の「 && !is_paged()」を削除すればできるかと思います。
実際には試していないのですが、多分これでいけるかと思います。

確認とご報告が遅くなってしまって申し訳ありません。

確認してみたところ、ご教示いただいた方法で希望通りに表示されました。ありがとうございました！