html-forms.php内のfunction generate_widget_entries_tagにカテゴリID13でorderbyを書き換えるように変更しました。

お騒がせいたしました。

  if ($order) {
    if (in_array(13, $cat_ids)) {
      $args += array(
        'orderby' => 'title',
        'order' => 'ASC',
      );
    } else {
      $args += array(
        'order' => strtoupper($order),
      );
    }
  }

●回答

new_listを用い固定ページを作らなくても、単にカテゴリーID=13のカテゴリー一覧ページをタイトルA-Z順とすればいいのでは？

add_action('pre_get_posts', function ($query) {
  // メインクエリかつ管理画面ではない場合のみ処理
  if (!is_admin() && $query->is_main_query()) {
    // カテゴリー一覧が、カテゴリーID＝13のの場合
    if (is_category(13)) {
      $query->set('orderby', 'title');
      $query->set('order', 'ASC'); // 昇順（A→Z）
    }
  }
});

●ご参考

固定ページで作るなら、Gutenbergエディターのクエリーブロックを活用すれば、ブロックの配置だけで、簡単に好みのカテゴリーのページを作成可能です（図は一例です）。

すみません、回答ずれてますね（苦笑）
new_listの場合もフルターフックがあるので、これで変更します。

add_filter('widget_entries_args', function($args) {
  // カテゴリーが 16 の場合
  if (!empty($args['tax_query'][0][0]['terms']) && in_array(16, (array) $args['tax_query'][0][0]['terms'])) {
    $args['orderby'] = 'title'; // タイトル順
    $args['order'] = 'ASC';     // 昇順（A→Z）
  }
  return $args;
});

●追記

20記事毎にベージを分け、次のページでnew_list offset=20でページネーションを作成したい。

「次へページ」のように、ボタンクリック毎にページ送りし、表示することは可能です。

恐れ入りますが、注記にも書かれていますが、コードについてはご自身で調べ対応願います。

JavaScript、PHPカスタマイズはサポート対象外させていただいています。

●仕組み

以下の流れで実現します。（コードは約70行）

ボタンクリック（JavaScript）→(Ajax)→new_list実行・返却（PHP）→(Ajax)→new_listの結果でHTML更新（JavaScript）

Gutenbrgエディターで固定ページを作成

• 「新着記事」ブロックを配置し、例では5ページとし、カテゴリー=13を設定。
• 「新着記事」ブロックの下に「ボタン」ブロックを配置。

PHP（新着記事の表示順を変更）

• 前述のコードで「新着記事」のカテゴリー=13をページをタイトルA-Z順にする。

PHP（Ajax関数）

• wp_ajax_{$action}、wp_ajax_nopriv_{$action}フックを介し、アクションに応じた関数を実行する。
• アクションに応じた関数で、ページ数を受け取り、new_listのoffsetを求める。
• ［new_list count=5 offset=（ページ数-1) * 表示数5） cats=13］を実行する。
• 実行した結果をJavaScriptへ返却。

JavaScript

• 「次へページ」ボタンがクリックされたらクリック回数（ページ数）をカウント。
• その都度、Ajaxを用い$actionに応じた関数にページ数を送信。
• Ajaxで返却された、new_listショートコードのHTMLで、元のページを書き換える。
• Ajaxから返却がない場合、ボタンを非表示。

●ご参考

独自ショートコードを作成する方法もあります。

new_listの結果に、「次へページ」ボタンと、paginate_links()を用い、ページボタンを追加する方法もあります。
こちらの場合、独自のショートコードなので、並び順のために何かパラメータを操作するということは不要となります。
Ajaxを用いるより、独自ショートコードの方がシンプルです。

先のGutenbergエディターならノーコードで実現できるかと思います。

●追記

　1．記事の並びはタイトル順
　2．大きなサムネイル画像とタイトル、スニペットを表示したい。
　3．記事数が増えた場合には、ページ分けを行いたい。

上記の要件で、カテゴリー13だけは、他の一覧ページと別表示をさせたい？

 new_listのショートコードでタイトル順記事を表示したい。
20記事毎にベージを分け、次のページでnew_list offset=20でページネーションを作成したい。

そのため、固定ページにnew_listを用い別表示とする。

要件を纏めると、固定ページで作る必要がないように思います。
new_listである必要がありますか？？

• カテゴリー13のとき、1ページ20件表示を追加。
• カテゴリー13のとき、カードタイプ、スニペット表示を変更。

単なるカテゴリー一覧なので、ページネーションも表示されます。

必要に応じ、[投稿]→[カテゴリー]→カテゴリーの本文で、説明文などを作成すればよく。
カテゴリーの本文入力はクラシックエディターですが、patternショートコードを使えば、Gutenbergエディターで作成した複雑なレイアウトを利用できます。

以下のコードで十分では？

define('MY_CATEGORY_ID', 13);

// カテゴリー一覧のページ設定
add_action('pre_get_posts', function ($query) {
  // メインクエリかつ管理画面ではない場合のみ処理
  if (!is_admin() && $query->is_main_query()) {
    // カテゴリー一覧が、カテゴリーID＝13のの場合
    if (is_category(MY_CATEGORY_ID)) {
      $query->set('orderby', 'title');    // タイトル順
      $query->set('order', 'ASC');        // 昇順（A→Z）
      $query->set('posts_per_page', 20);  // 1ページ20件表示
    }
  }
});


// カードタイプを変更
add_filter('theme_mod_entry_card_type', function($mods) {
  if (is_category(MY_CATEGORY_ID)) {
    // entry_card       ：デフォルト
    // big_card_first   ：大きなカード（先頭のみ）
    // big_card         ：大きなカード
    // vertical_card_2  ：縦型カード2列
    // vertical_card_3  ：縦型カード3列

    $mods = 'big_card';
  }
  return $mods;
});



// スニペット表示を変更
add_filter('theme_mod_entry_card_snippet_visible', function($mods) {
  if (is_category(MY_CATEGORY_ID)) {
    $mods = '1';
  }
  return $mods;
});