●回答

フロントページタイプ「タブ一覧」のテンプレートtmp/list-tab-index.phpを確認しましたか？

A1.

投稿者:: @artfootball

↑

is_modified_index_tab() や is_tab_index()

そのような関数、フックはありません。

A2.

投稿者:: @artfootball

↑

Ajaxでコンテンツが読み込まれているようで、pre_get_posts ではタブ内の記事リストを変更できませんでした。

Ajaxは使っていません。

A3.
cocoon_popular_posts_widget_query_argsと言うフックは存在しません。
どんなフックがあるか、フックの使い方はご自身でソースの確認願います。

●実現方法

[Cocoon設定]→[インデックス]→並び順「投稿日（降順）」

例えばカテゴリーID=666のみ、タブ一覧とカテゴリーページの並び順を、更新日（降順）とします。

// タブカテゴリーの表示順を変更
add_filter('list_category_tab_args', function($args, $cat_id) {
  if ($cat_id == 666) {
    $args['orderby'] = 'modified';
    $args['order'] = 'DESC';
  }
  return $args;
}, 10, 2);


// カテゴリーページの表示順を変更
add_action('pre_get_posts', function($query) {
  if (!is_admin() && $query->is_main_query() && is_category(666)) {
    $query->set('orderby', 'modified');
    $query->set('order', 'DESC');
  }
});

PHP、JavaScriptのカスタマイズですが、フォーラムの注記にもありますように、ご自身で無理な場合、有償にて業者に依頼願います。

●補足

フロントページで、投稿日順と更新日順でタグ一覧を作るなら、固定ページで「タブ」と「新着記事」ブロックを用いて作成する方法もあります。