おそらく、KUSANAGI環境が原因かと思います。
Cocoonは、 WP_Filesystem()を用いてファイルの読み込みを行っています（Wordpress推奨方法なので）。
ただ、KUSANAGIで利用するには、処理を書き加える必要があります。
詳しくは以下のトピック等を参照してみてください。
VPS(ConoHa)+Kusanagi+WordPress上でSimplicityのスキン選択機能が動かない

早々のご確認、ありがとうございます！！

ご返信頂きました内容を踏まえて、二点、質問です。

★一点目

WP_Filesystem()を使用している部分は、KUSANAGI環境では動かないとの事で、取り急ぎ、grepで該当するファイルを探してみました所、以下のファイルでWP_Filesystem()を使用している事を確認しました。以下のファイル全ての、WP_Filesystemの引数に、“request_filesystem_credentials()”関数を差し込めば良い感じでしょうか？

cocoon-master/lib/amp.php

cocoon-master/lib/auto-post-thumbnail.php

cocoon-master/lib/blogcard-out.php

cocoon-master/lib/page-backup/backup-posts.php

cocoon-master/lib/page-settings/_top-page.php

cocoon-master/lib/page-settings/skin-funcs.php

cocoon-master/lib/page-speed-up/minify-css.php

cocoon-master/lib/page-speed-up/minify-js.php

cocoon-master/lib/page-speed-up/speed-up-func.php

cocoon-master/lib/utils.php

★二点目

こちらの修正は、Cocoonテーマのアップデート時に毎回、手修正する必要が出てきますでしょうか？(KUSANAGI対応として、Cocoonテーマに今回の修正を加えて頂く事は可能でしょうか？参考リンクにある通り、セキュリティ的に問題ある？？から難しい感じでしょうか？)

僕は、Kusanagi環境を持っていないので、詳しいことわからないです。
ただ、僕としては、”wp-config.php”を利用した認証コードを付け加える方法をすればよいのかと思っていました。

ただ、レスポンシブ表示すれば良いのであれば、cocoon-master/lib/utils.phpだけでも良いのかなと思ったり。

子テーマのfunctions.phpに以下の関数を貼り付けて、書き換えてオーバーロードすれば良いかなと思います。

function get_file_contents($file){
  if (WP_Filesystem()) {
    global $wp_filesystem;//$wp_filesystemオブジェクトの呼び出し
    $contents = $wp_filesystem->get_contents($file);
    return $contents;
  }
  // if (file_exists($file)) {
  //   ob_start();
  //   include($file);
  //   $contents = ob_get_clean();
  //   return $contents;
  // }

} 

これだとほぼほぼアップデートに影響しないかと思います。

迅速に、丁寧なご教示、ありがとうございました！！以下のコードを、子テーマのfunctions.phpに追記する事により、レスポンシブ表示が上手くいくようになりました！！！

function get_file_contents($file){
 if (WP_Filesystem(request_filesystem_credentials('', '', false, false, null))) {
 global $wp_filesystem;//$wp_filesystemオブジェクトの呼び出し
 $contents = $wp_filesystem->get_contents($file);
 return $contents;
 }
}

うまくいったようでよかったです！
また動作したコードのご報告ありがとうございます！
今後同様の問題が起こった方の参考になったと思います。
また、同様の質問が来た場合にはそのように案内したいと思います。