「Revive Old Post」をインストールしてみましたが、特に問題はないようです。

「テキストモード」にすると、ショートコードのタグ一覧部分が切れる（画像参照でお願いします）

これもちょっと意味がわからないです。
ショートコードというのは、基本的に[aaaa]みたいな記入方法のことを言うと思うのですけどどの部分なのかが分からないです。
もし、タグ挿入ボタンのことであれば、Cocoonのデフォルトのタグ挿入ボタンは、添付画像のような感じです。

何かしら、カスタマイズかプラグインでタグ挿入ボタンが追加されているものと思われます。
そういったものが原因ということは考えられないでしょうか。

また、サポート対象外のものにもあるようにプラグインによる不具合は基本的にサポート対象外となっています。
全てのプラグインの事象を調べるわけにもいかないので、原因がわからない可能性もあるのでご了承ください。

1．「テキストモード」にすると、ショートコードのタグ一覧部分が切れる（画像参照でお願いします）

ショートコードというのは、基本的に[aaaa]みたいな記入方法のことを言うと思うのですけどどの部分なのかが分からないです。
もし、タグ挿入ボタンのことであれば、Cocoonのデフォルトのタグ挿入ボタンは、添付画像のような感じです。

私もどの部分か不明でした。

あと気になったのが、他のプラグインとの影響かなっといった印象です。➡確認方法として次

他のプラグインを停止して、オカシイと思われる部分がどのようになるか。など確かめてみて、何事もなければCocoonではなくプラグイン同士の影響の可能性もあると思います。

必要なほうを残し、別の方法➡例えば、競合しないプラグインで対応するなど試すのも手だと、いちユーザーとして思います。

お二人ともありがとうございます。

ショートコードではなく、おっしゃる通り「タグ挿入ボタン」のことでした。すみませんm(__)m

デフォルトと同じなんですね。
私の場合は、白いラインが無くなっているのが常だったので、不具合だと思っていました。（Revive Old Postを停止すると添付のようになります）

かうたっくさんのアドバイスに沿って、プラグイン同士の影響がないか調べてみたいと思います！

お手数をお掛けしてしまい申し訳ありません。

ありがとうございました！

よく見たら、確かにタグ挿入ボタンの右側に白い余白が出ていますね。
で、「Revive Old Post」を無効にしたら改善されました。
この現象は、他テーマでは起きないものでしょうか。