加えて、!is_home()を入れてしまうと、何も設定を変更していない、通常のインデックスページがトップページになっている場合、h1見出しがなくなってしまい、h2から始まってしまうため、実装はしないと思います。

同様の理由で以下の変更も行わないと思います。

<?php
if (is_home()) {
echo '<h1 id="archive-title" class="archive-title">'.single_post_title('', false).'</h1>';
}
?>

ただし、上記のカスタマイズの場合は、アクションフックを追加することで子テーマのfunctions.phpのみで完結する仕様にはできるかもしれません。
ただいずれにせよ、ヘッダーのロゴ部分のh1出力のカスタマイズが必要になると思います。

テストサイトを作成しました。こちらです。

このサイトではトップページは固定ページで、最新の投稿ではありません。最新投稿一覧はトップページからリンクのある最新投稿ページで見られます。この固定ページには「最新投稿」という名前をつけてありますが、その名前はこのページでは表示されません。（本当はHello worldの左の画像の上ぐらいに「最新投稿」と出て欲しい。）

また、このページのHTMLソースでは

<h1 class="logo logo-header logo-text"><a href="http://cocoontest20190529.conohawing.com" class="site-name site-name-text-link" itemprop="url"><span class="site-name-text" itemprop="name about">Cocoon Test</span></a></h1>

のようにサイトロゴがh1になっています。これはそのページそのもののタイトルがh1になるトップページや投稿（および検索結果ページ）とは違っています。

まずサイトロゴがh1になっている点を修正するには、lib/html-forms.phpの

if (!is_singular()&& !is_archive() && $is_header) {

を

if (!is_singular() && !is_archive() && !is_search() && $is_header) {

に変更されたところをさらに

if (!is_singular() && !is_archive() && !is_search() && !is_home() && $is_header) {

に変更すればよいと思うのですが、可能でしょうか？

また、投稿ページにタイトルをつけるにはindex.phpの<?php get_header(); ?>の後に

<?php
if (is_home()) {
echo '<h1 id="archive-title" class="archive-title">'.single_post_title('', false).'</h1>';
}
?>

などが入っていれば良いと思うのですが、これも可能でしょうか？　固定ページ「最新投稿」を投稿ページに指定すると、テンプレートが適用できなくなるらしく、子テーマにindex.phpを追加するしか今のところ手がないようです。

もしほかの機能と干渉しないようなら以上の変更をしていただければ個人的にはありがたいです。フロントページを固定ページにして別の投稿ページを用意する機能は使っている方が少ないようなので、もし追加されない場合には子テーマで対処します。