お二人に教えていただいた方法でやってみようと思います。
ありがとうございました！

.todays-dinner .bb-label .fa::before {
  content: "";
}

タブボックスはタブの文字が固定されているものだと思っていたので、タブ見出しボックスを使おうと考えていました。

教えていただいた方法のほうがシンプルで問題もなさそうなので、その方法でやってみようと思います。

ちなみに、タブのチェックマークを外したいのですが、ｍｋ２さんの例であれば

.todays-dinner .bb-label .fa::before{
    content: "none";
}

でいいのでしょうか？

指定するクラス名がわからないので、教えていただけると助かります。

タブの文字を変えれば良いのでしょうか？
そもそもの要件がはっきりしないのでお聞きしました。

例えばですけれど。
（すべてクラシックエディタを使用）

編集画面で、以下のように2つタブボックスを追加します。

.todays-dinner .bb-label::after {
    content: "本日の晩御飯";
}

すると、実際に公開されるページは、以下のようになりますが、それでは要件は満たさないということでしょうか。
（そもそもCocoonの親テーマは、CSSでタブの見出し部分を指定している）

カスタマイズしたいのは、タブボックスではなくてラベル部分の文字を変えることができるタブ見出しボックスです（旧エディタでは使えないやつです）。

タブ見出しボックスの padding は 0.4em 0.8em で、白抜きボックスの padding は var(--cocoon-box-padding) になっていて、少し仕様が違います。

お聞きしたいこと

• タブ見出しボックスの padding を var(--cocoon-box-padding) に変更するなどのカスタマイズをしても問題がないのか
  （枠内で<p>や<ul>を使ったときに、白抜きボックスと同じように使えるのか、表示が崩れたりしないのか）
• タブ見出しボックスをカスタマイズするときに指定するクラス名を教えてほしい

タブボックスは既存のものを使いたいので、タブ見出しボックスのカスタマイズを考えています。
「既存のタブボックスを使える」&「見出し部分を変更したタブボックスを新たに作れる」のであれば、タブボックスのカスタマイズでも全然アリです。

わかりにくくてすみません！

お問い合わせとは違うことを書いてしまうような気はしますけれど・・・。

以下のことをなさりたいとのことですが、正直良く分からないところです。

やりたいこと

• Cocoon既存の「白抜きボックス」の上にラベルをつけたい
• ボックス（枠）の中は「白抜きボックス」と全く同じにしたい（paddingやmarginなど）
• 旧エディターを使うのでコードをコピペして使う

以下は、私のローカル環境でクラシックエディタを使用したものです。

【白抜きボックス】

見た目上はうまくできたのですが、環境やボックスの中に入れるタグによってどのような影響があるかわかりません。
ほぼすべての記事で使用しようと考えているので、後々問題が出なさそうかチェックしてほしいです。

やりたいこと

• Cocoon既存の「白抜きボックス」の上にラベルをつけたい
• ボックス（枠）の中は「白抜きボックス」と全く同じにしたい（paddingやmarginなど）
• 旧エディターを使うのでコードをコピペして使う

わからないこと

• 自分の環境以外でうまく表示されているかわからない
• HTMLとCSSで指定するクラス名がわからない（クラス名を全て含める必要があるのか一部だけでいいのか）
• 自分のサイトのタブ見出しボックスとCocoonサイト「Cocoon Blocksの現在の対応状況」の記事内にあるタブ見出しボックスとではクラス名が違っていて、どちらを指定したほうが問題がないのかがわからない
• ボックス（枠）の中が「白抜きボックス」と全く同じになっているかわからない

タブ見出しボックスをカスタマイズしたもの

HTML

<div class="wp-block-cocoon-blocks-tab-caption-box tab-caption-box block-box">
 <div class="tab-caption-box-label block-box-label">
  <span class="tab-caption-box-label-text block-box-label-text">見出し</span>
 </div>
 <div class="tab-caption-box-content">
  <p>テスト</p>
  <p>テスト</p>
  <ul>
   <li>テスト</li>
   <li>テスト</li>
  </ul>
 </div>
</div>

CSS

.tab-caption-box-label {
  padding: 5px 10px;
  font-size: .9em;
  background-color: #949495;
  display: inline-block;
  border-top-left-radius: 4px;
  border-top-right-radius: 4px;
  color: #ffffff;
}
.tab-caption-box-content {
  margin-top: -3px;
  border-width: 3px;
  border-style: solid;
  border-color: #949495;
  padding: var(--cocoon-box-padding);
  border-radius: 0 4px 4px 4px;
  border-top-left-radius: 0;
}

• 指定するクラス名ですが、例えば「wp-block-cocoon-blocks-tab-caption-box tab-caption-box block-box」ではなく「tab-caption-box」だけでいいのでしょうか？
  足りない・追加したほうがいいなどあれば教えていただきたいです。
• ボックス（枠）の中のpaddingは「var(--cocoon-box-padding)」で問題ないのでしょうか？
• 自分のサイトではタブ見出しボックスのクラス名が「wp-block-cocoon-blocks-tab-caption-box-1 tab-caption-box block-box not-nested-style cocoon-block-tab-caption-box」になるが、Cocoonの記事内では「wp-block-cocoon-blocks-tab-caption-box tab-caption-box block-box」になっているのが気になります
  （あえて「wp-block-cocoon-blocks-tab-caption-box tab-caption-box block-box」のほうでカスタマイズしていますがちゃんと表示されています）

自作したタブ見出しボックス

HTML

<div class="label-heading-box">
 <div class="label-heading-box-title">見出し</div>
 <div class="label-heading-box-content">
  <p>テスト</p>
  <p>テスト</p>
  <ul>
   <li>テスト</li>
   <li>テスト</li>
  </ul>
 </div>
</div>

CSS

.label-heading-box {
  margin-bottom: 1.8em;
}
.label-heading-box-title {
  font-size: 0.9em;
  display: inline-block;
  color: #fff;
  background-color: #949495;
  border: 1px solid #949495;
  border-radius: 4px 4px 0 0;
  padding: 5px 10px;
}
.label-heading-box-content {
  margin-top: -3px;
  border: 3px solid #949495;
  border-radius: 0 4px 4px 4px;
  padding: var(--cocoon-box-padding);
}

こちらでは、ボックス内の最後の行下にmarginができてしまいます。

長い文章になって申し訳ありません。
よろしくお願いします。

URL : https://fc2wordpresstest.fc2.page/test/

----------------------------------------------
サイト名：てすと
サイトURL：https://fc2wordpresstest.fc2.page/wordpress
ホームURL：https://fc2wordpresstest.fc2.page
コンテンツURL：/wordpress/wp-content
インクルードURL：/wordpress/wp-includes/
テンプレートURL：/wordpress/wp-content/themes/cocoon-master
スタイルシートURL：/wordpress/wp-content/themes/cocoon-child-master
親テーマスタイル：/wordpress/wp-content/themes/cocoon-master/style.css
子テーマスタイル：/wordpress/wp-content/themes/cocoon-child-master/style.css
WordPressバージョン：6.5.2
PHPバージョン：7.4.18
ブラウザ：Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/124.0.0.0 Safari/537.36
サーバーソフト：Apache
サーバープロトコル：HTTP/1.1
エンコーディング：gzip, deflate, br, zstd
言語：ja
----------------------------------------------
テーマ名：Cocoon
バージョン：2.7.3.1
カテゴリー数：1
タグ数：0
ユーザー数：1
----------------------------------------------
子テーマ名：Cocoon Child
バージョン：1.1.3
style.cssサイズ：1666 バイト
functions.phpサイズ：203 バイト
----------------------------------------------
Gutenberg：0
Font Awesome：4
Auto Post Thumbnail：0
Retina：0
ホームイメージ：/wordpress/wp-content/themes/cocoon-master/screenshot.jpg
----------------------------------------------
ブラウザキャッシュ有効化：0
HTML縮小化：0
CSS縮小化：0
JavaScript縮小化：0
Lazy Load：0
----------------------------------------------
利用中のプラグイン：
----------------------------------------------