ちょっと素人ながらいろいろ試してみましたが
内部ブログカードと関連記事の画像サイズの正方形化は難しかったです…

それでも皆さまのご協力あって各画像の正方形化は実現しました！
ありがとうございます。

また今後ともよろしくお願いいたします！

ご回答いただきありがとうございます！

いただいたコードでエラーメッセージは表示されませんでした。
ご調査いただきありがとうございます！

アップデートがうまくいっていないためか、内部ブログカード、記事最下部の関連記事の画像が正方形になりませんでした。

もう一度アップデートまわりの点など確認してみます。

コピペしてみたんですが、これならエラーは出ませんでした。

get_internal_blogcard_thumbnail_sizeですが、追記されるのであれば、以下を消して任意のサイズを入れると良いと思います。

add_image_size('thumb_160', 160,160, true);
//internal_blogcard_thumbnail
function get_internal_blogcard_thumbnail_size(){
  return 'thumb_160';
}

ブラウザによってコピペがうまくいかなかったら困るので、念のためソースコードを貼っておきます。

https://notepad.pw/2w1y8emp

お世話になります。
お手数おかけしてしまい申し訳ございません。

以下に既存のコードとエラーメッセージについて記載しますので、
ご確認お願いいたします。

■現在のfunctions.php内コード

//以下に子テーマ用の関数を書く
add_image_size('thumb_120', 120,120, true);
add_image_size('thumb_320', 320,320, true);
//新着記事のサムネイルサイズ
function get_new_entries_thumbnail_size($entry_type = ET_DEFAULT){
  $thumb_size = ($entry_type == ET_DEFAULT) ? 'thumb_120' : 'thumb_320';
  return $thumb_size;
}
//人気記事のサムネイルサイズ
function get_popular_entries_thumbnail_size($entry_type = ET_DEFAULT){
  $thumb_size = ($entry_type == ET_DEFAULT) ? 'thumb_120' : 'thumb_320';
  return $thumb_size;
}
add_image_size('thumb_name', 200,200, true);
function get_entry_card_thumbnail_size(){
  return 'thumb_name';
}

■追加コード1

add_image_size('thumb_160', 160,160, true);

function get_internal_blogcard_thumbnail_size(){
  return 'thumb_160';
}

■エラーメッセージ

ファイルの21行目のエラーのため、PHP コードの変更をロールバックしました。修正し、もう一度保存してください。
syntax error, unexpected 'add_image_size' (T_STRING)

■追加コード2

function get_internal_blogcard_thumbnail_size(){
  return 'thumb_320';
}

■エラーメッセージ

ファイルの21行目のエラーのため、PHP コードの変更をロールバックしました。修正し、もう一度保存してください。

syntax error, unexpected 'function' (T_FUNCTION)

以上です。
お手数おかけしますが何卒よろしくお願いいたします。

子テーマfunction.phpにあるコードはこれ以外にはありませんか？

function ***　のように***部分が同じコードが重複して存在すればエラーが出るかと思われますが、最新バージョンでの確認はしてませんが子テーマ側の記載がどうなっているかと思いまして。

ない可能性もあるとは思いますが、サーバーのキャッシュが残っていて、以前重複したコードを表示している可能性はありませんか？？

分かりませんが、ご確認いただけたらその可能性はない！！と断言できるのでエラーの原因がしぼりやすくなると思います。

ご連絡ありがとうございます！

ブログカードに関してもご対応いただきありがとうございます！

ただ今アップデートしてコードの追加を試させていただきました。
ご教示いただきました「関数の多重定義エラー」が表示されてしまいます。

素人ながら調べてみたのですが、現在function.phpにある不要なコードの削除、もしくは既存のコードへの追記方法がわかりませんでした。

以下、現在function.phpにあるコードです。

//以下に子テーマ用の関数を書く
add_image_size('thumb_120', 120,120, true);add_image_size('thumb_320', 320,320, true);//新着記事のサムネイルサイズ
function get_new_entries_thumbnail_size($entry_type = ET_DEFAULT){
  $thumb_size = ($entry_type == ET_DEFAULT) ? 'thumb_120' : 'thumb_320';
  return $thumb_size;
}
//人気記事のサムネイルサイズ
function get_popular_entries_thumbnail_size($entry_type = ET_DEFAULT){
  $thumb_size = ($entry_type == ET_DEFAULT) ? 'thumb_120' : 'thumb_320';
  return $thumb_size;
}
add_image_size('thumb_name', 200,200, true);
function get_entry_card_thumbnail_size(){
  return 'thumb_name';
} 

度々の問い合わせとなり大変申し訳ございません。
この点についてご教示よろしくお願いいたします。

基本的にCocoonは、ユーザーさんがカスタマイズしやすいように、デフォルト状態ではシンプルなデザインを採用しています。ですので、むしろ自由にカスタマイズして利用して欲しいぐらいなので、全然問題ないです。

こちらに関してもご回答いただきありがとうございます。大切に使用させていただきます。

add_image_size('thumb_160', 160,160, true);

function get_internal_blogcard_thumbnail_size(){
  return 'thumb_160';
}

サムネイルをあまり多く作成したくない場合は、以下だけでも良いかと思います。

function get_internal_blogcard_thumbnail_size(){
  return 'thumb_320';
}

今回はこのコードは必要ないでしょうか。

これは、同じ関数名のコードを追加したら、関数の多重定義のエラーは出ます。不要な方は削除してください。

また今回せっかくのわいひらさんの新しいデザインと逆行するようなカスタマイズのお願いとなり申し訳ございませんでした。

基本的にCocoonは、ユーザーさんがカスタマイズしやすいように、デフォルト状態ではシンプルなデザインを採用しています。ですので、むしろ自由にカスタマイズして利用して欲しいぐらいなので、全然問題ないです。

ご回答いただきありがとうございます！

ご教示いただきました通りスタイルシートへコードを追記したところ、画像が縮小されておりました！

皆様のお力添えで自分の思う通りの表示になりました。
ありがとうございます！

画像のサイズに関しては既存のトピックをしっかり参考していればできていた面もあると思います。

かうたっくさん、わいひらさんにご迷惑おかけしてしまい申し訳ございません。

また今回せっかくのわいひらさんの新しいデザインと逆行するようなカスタマイズのお願いとなり申し訳ございませんでした。

これからもよろしくお願いいたします！

・エントリーカードの画像サイズの指定。（縮小）

というのは、下の添付画像のような状態のことでしょうか？

もしそうでしたら、子テーマのスタイルシートに

.entry-card-thumb {
width: 200px;
}

.entry-card-content {
margin-left: 210px;
}

と指定するとできると思います。

200pxという数値はサムネイルのサイズにしています。

数値はお好みのサイズに変更してくだい。