ありがとうございます。

ユーザー > AppData > Roaming > Local 

これは、気づきませんね・・・。

• Local自身
  「Program Files(x86) > Local」
   
• LocalのWordPress（各サイトのデータ）のインストールフォルダ
  「ユーザー名 > Local Sites」

インストール関連のファイルがあるフォルダではなく、下記にある「Local」名のフォルダです。

ユーザー > AppData > Roaming > Local 

・Localの設定関連ファイルが入ったフォルダを手動で削除（このフォルダおよびファイルは2番目を実行しても削除されない）

上記は、どのフォルダなのでしょうか。
インストールフォルダとは違う場所にあるのでしょうか？

Studioの不具合については、色々と試行いただきありがとうございました。

時間が経ってしまいましたが、Localのアンインストール・再インストールについて、Localのサイトを見てみたところ、次のことがわかり、それに従いアンインストールした後に再インストールしましたところ、上手くいきました。Cocoonとは関係ありませんが、お伝えしておきます。

・テーマやプラグインなどデータが入ったフォルダを手動で削除

・Localプログラムをアンインストール（Windowsの設定から実行）

・Localの設定関連ファイルが入ったフォルダを手動で削除（このフォルダおよびファイルは2番目を実行しても削除されない）

私は、この3番目のフォルダの存在を知らず、再インストール後Localが起動しなかったのはこの中のファイルに破損が生じていたものと思われます。

引きつづき、どうぞよろしくお願いいたします。

ありがとうございます。

①のWarninngは、気にしなくて良いと思います。
今回追加依頼した、echo文の影響です。
（HTTPヘッダーを送信しようとしたら、先に何か出力されてしまっている(これがecho文のもの)）
 

②は、酷いことに・・・。

①②共にですが、今回私が追加依頼したものは、カレントディレクトリを出力するものです。
（「カレントのワーキングディレクトリ」らしいです）

• Ａ．/var/www/html/wp-content/themes/cocoon-master/lib/page-backup
• Ｂ．/var/www/html

上記の項番Ａが返ってくるものと思っていましたが・・・。
実際には、項番Ｂが返ってきています。
（「Local」では、項番Ａが返ってきます。ドキュメントルートが違いますけれど、それ以下は同じです）

元々の今回の事象ですけれど。
これを起点にして、相対参照することになるために、「Studio」では、上手く参照できないのだと思います。

例えば「_defins.php」を例にすると
項番Ｂ（つまり「Studio」）では「/var/www/_defins.php」を参照するのではないかと思います。
（本来は、「/var/www/html/wp-content/themes/cocoon-master/lib/_defins.php」）
 

更に②では、echo文を追加したことで、それ以降の参照が影響を受けて、エラーが出ているのも問題かと思います。
以下を参照しに行っています。
「/var/www/html/wp-content/themes/cocoon-master/lib/page-backup/wp-load.php」

（本来は「/var/www/html/wp-load.php」）

 
「__DIR__」でカレントディレクトリを与えているはずですが、
そのあとの、相対参照が変になってしまっています。（無視された？）
getcwd()は参照するだけで、影響を与えないはずです。
（「Local」では、今回の依頼同様に、echo文を追加、後続を「__DIR__」形式にしても影響はなかったです）

つまり、「Studio」に搭載されているPHPの挙動が変だと思われます。
カレントディレクトリも変ですが、それ以外にも変な挙動をしていそうです。
今回「__DIR__」を追加して対処しましたが、それも何か怪しくなってきたと思います。
（それ以前の処理がなければ、影響は受けないと思いますけれど）

まず、①に教えていただいたコードを追記し、設定バックアップ取得を試みたところ、ファイルは作成されず警告のページが表れました。つづいて②について同様にしましたが、同様でした。

両方それぞれに出た警告をコピーしたファイルを添付します。

①および②

動く状態なら、どちらでも良いです。

①および②で書き換えたbackup-download.phpそれぞれの9行目と10行目の間に次を追加:

echo 'CWD: ' . getcwd() . "<br>";

cocoon設定バックアップ取得後、そのファイルの最初の出力をお知らせするということでよいですか。

少し追加で説明を。

②だと、Studioのカレントディレクトリが変である可能性...というお話もありました

そういうことを言っているのではないです。

そもそも、「Studio」が変だと思うのです。
そして、何が変なのかを探るために、何種類か試していただいています。

カレントディレクトリの取得が変なのか、相対参照自体ができないのか。
それを確認したいと思っていました。

②の「__DIR__」は、意図的にカレントディレクトリを与えた状態にしたということです。
これで上手くいくということは、元々の「Studio」のカレントディレクトリの取得が変ではないかということです。

①の方法は、設定がない環境もあり、一般的に使うのは躊躇います。
（設定があれば、使用できると思いますけど）