classさん

ユーザーの連絡先情報に、各種URLは入力済ということでよろしいでしょうか。

私は、投稿者・編集者で確認してみましたが、試しにTwitterのURLを入れると、表示されるようでした。

Cocoonで表示しないようにしていることはないです。
動作としてはmk2さんが書かれたような動作をイメージして作りました。
表示されないとしたら不具合かもしれませんが、実際のページを見てみないと、詳しいことはわからないかもしれません。
※見てもわからない可能性があります

ｍｋ2様　わいひら様　ありがとうございます。

どうやら、プラグインのUltimate memberによる影響でした。Cocoon側で用意しているところには保存されず上の欄にURLが保存されていました。私では対応できないのでこれらを上記のとおりにカスタマイズ依頼をかけると相場はどのくらいになりますか？

この画像だけでは分かりにくいですが1万なのか10万なのか50万なのか大体の相場をお伺いしたいです！

当初の質問とずれてしまい申し訳ないです

classさん

「Ultimate member」をインストールして有効化してみましたが、特に影響はなかったです。
（実際のページ表示、ユーザーの連絡先の設定の両方共）

僕も相場までは分からないです。
こういうのは、実際の動作とプラグインのソースコードを覗いてみないと分からないというのもあるので（調査時間もそれなりにかかる）。
PHPカスタマイズで検索して出てくるようなものであれば、5000円から3万円くらいで受ける人もおられるかもしれませんが、今回の場合は「プラグインの競合による再現方法のわからない不具合調査とその解決」となるのでもうちょっと高いのかも。
さすが10万円まではいかないのかなとは思いますが、こういうのは言い値みたいなところがあるので、カスタマイズ依頼を受けてくれる方に相談してみるしかないのかもしれません。