ありがとうございます！無事に理想の吹き出しにできました！お忙しい中細かい部分までご教授くださりありがとうございました

●補足
大きい三角の色を#ccc(グレー)、小さい三角の色をピンク(#feeeed)として重ねる。
大きい三角が少し見える為、それが外の枠(^)として見える。

/* 吹き出しとアイコンの横並び解除 */
.bottom.speech-wrap {
  display:block;
}

/* 右の人を右寄せ */
.bottom.sbp-r * {
  margin-left:auto;
}

/* 吹き出し */
.bottom .speech-balloon {
  margin-top:12px;  /* 三角部分の余白 */
  max-width:100%;   /* 画面幅にする */
  border:2px solid;
}

.bottom.sbp-r .speech-balloon {
  margin-right:0;
}
.bottom.sbp-l .speech-balloon {
  margin-left:0;
}

/* 右の人の吹き出し三角の位置 */
.bottom.sbp-r .speech-balloon:before,
.bottom.sbp-r .speech-balloon:after {
  right: 36px;
}

/* 左の人の吹き出し三角の位置 */
.bottom.sbp-l .speech-balloon:before,
.bottom.sbp-l .speech-balloon:after {
  left: 36px;
}

/* 吹き出しの三角(大きい三角の上にに、小さい三角を重ね吹き出しを作る) */
/* 大きい三角 */
.bottom .speech-balloon:before {
  border: 12px solid transparent;
  border-bottom: 12px solid;
  top: -24px;
}

/* 小さい三角 */
.bottom .speech-balloon:after {
  border: 10px solid transparent;
  border-bottom: 10px solid;
  margin: 0 2px;
  top: -19px;
}

/* 名前の位置をアイコン横 */
.bottom .speech-person {
  position: relative;
}

.bottom .speech-name {
  display: block;
  position: absolute;
  top: 0;
  width: 150px; /* 名前の幅 */
}

.bottom.sbp-r .speech-name {
  right: 100%;
  text-align: right;
}

.bottom.sbp-l .speech-name {
  left: 100%;
  text-align: left;
}


/* 色指定 */
/* コメント欄 */
.bottom .speech-balloon {
  border:2px solid #ccc;  /* 枠色 */
  background-color:#feeeed; /* 背景色 */
}

/* 大きい三角 */
.bottom .speech-balloon:before {
  border-bottom-color:#ccc; /* 吹き出し枠色 */
}

/* 小さい三角 */
.bottom .speech-balloon:after {
  border-bottom-color:#feeeed; /* 吹き出し背景色 */
}

●要件定義

• 名前や肩書きなど、任意の文字をコメント以外に表示したい。
• 吹き出しをアイコン下に表示したい。

●名前や肩書きなどの任意の文字表示
可能。
Cocoonの吹き出し機能で、コメント以外に、名前の欄に任意の文字列を入力可能です。
ここに、名前、肩書きを挿入可能となります。

●吹き出し位置を下表示
可能。
CSSに追記する事で可能です。
エディタで吹き出しブロックを選択した際、で追加CSSクラスを指定できます。
ここで下のclassを指定する事で対応可能です。

●条件
エディタの設定で、噴出しの背景の色、ボーダーの色の指定は不可。
左右が対象のようです。
吹き出し左右の三角部分を対象としている為、今回の下吹き出しの三角の部分が表示がおかしくなります。
この為、あらかじめCSSで定義する事になります。

吹き出しについてなのですが、現在COCOONでは吹き出しの位置は左右どちらかしか設定できないと思いますがこの吹き出しの位置をアイコンの下に置くことは難しいでしょうか？

イメージは添付した画像のように、アイコンの横に名前や肩書きなどを挿入し、その下に吹き出しです。

CSSやプラグインなど何か方法がありましたらご教授願えますと幸いです。