原因が分かって良かったです。

移動しながら、スマホで見ていますので、良く分かりませんが。

h1タグのサイト名は、以下で、結果的にget_bloginfo('name')で取得していそうですけど。

（間違っていたら、すみません）

https://github.com/xserver-inc/cocoon/blob/5ac3b6b1e4c01a842774d89ed9ff7fa722e1d0f9/lib/html-forms.php#L396-L472

そういうことで、WordPress側という意味合いです。（少なくとも環境情報は、get_bloginfoです）

（一応、テスト環境で、WordPress側・Cocoon側の値を変えて、事前に簡単に確認してから、お答えしています）

動きを見るに、Cocoon側で何か持ってそうな動きをしているのですが

こちらで大変失礼な書き込みをしてしまいました。申し訳ありませんでした。

ご指摘いただいた通り、子テーマでカスタマイズした箇所で、無理やりタイトルをローカライズしている記載があり、そこで日本語名が固定されていました。

そういう意味では子テーマ側で旧サイト名を持っていました。

mk2さん

長時間にわたりお付き合いいただきありがとうございました。

また、ご迷惑をおかけし、お騒がせしてしまって申し訳ありませんでした。

私も確認させていただきました。 

長時間ありがとうございます。

Cocoon親を有効化してサイト名を更新すると反映されました。

Cocoon子に戻したらサイト名も戻りました。

現在親にしてサイト名を更新した状態を保持しています。

別のテーマを有効化してから管理画面でサイト名を更新してみます。

リアルタイムで更新されますね……

Cocoonの親テーマを、有効にしていただけますでしょうか。

すみません、今、移動中でスマからなのですが。

10分くらい、見れなくなります。

追記

Twenty Twenty-Fiveに変更→サイト名更新

リアルタイムで更新されますね……

追記２

Cocoonに戻す→旧サイト名に戻った！！

エックスサーバー側はそもそもキャッシュを無効化していました。

Xアクセラレータとか、サーバーキャッシュ等ですが、使っていませんか・・・。

（他のところは更新されたので、使ってなさそう）

Bogoのを無効化して再度サイト名の更新を実施してみます

今、無効化していただきましたが、変わりませんね。

（HTMLが変なのも改善しませんでした）

ただ、ここはWordPress側なんですよね。

なぜ、更新されないのか・・・。

エックスサーバー側はそもそもキャッシュを無効化していました。

Bogoのを無効化して再度サイト名の更新を実施してみます。

追記

結果、変わりませんでした。

Bogoを無効化　→　WPの設定からサイト名更新　→　旧サイト名が表示される

Cocoon設定へ遷移すると、管理画面の左上のサイト名が旧サイト名に戻る。WP設定に遷移すると、サイト名には旧サイト名が入っている。

呪いかな？