「Invisible reCaptcha for WordPress」プラグインをPHP8.1.22環境で使用すると、以下の2つの不具合が発生します。

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1. 設定画面の不具合
   設定画面のメニューがすべて「設定」と表示され、reCaptchaの設定画面が表示されない
   reCaptchaの設定が保存されない

2. フォーム送信時のエラー
   フォームを送信すると、「An error occurred during reCaptcha verification. Please try again.」というエラーが表示される
   フォーム送信時に「An error has occurred. Please try again later.」などのエラーが表示される

原因
これらの不具合は、プラグインがPHP8.1で導入された新しい構文に対応していないことが原因です。
本プラグインは2020年12月に最終更新されており、PHP8.0以降のバージョンでは動作保証されていません。

以下の代替プラグインが推奨されます。

Really Simple Captcha
: https://wordpress.org/plugins/really-simple-captcha/
他のプラグインから呼び出すことを想定して作られた CAPTCHA モジュールです。
有効インストール数: 400,000+ WP6.5.3で検証済み

hCaptcha （hCaptcha for WordPress）

: https://wordpress.org/plugins/hcaptcha-for-forms-and-more/
有効インストール数: 50,000+ WP6.5.3で検証済み

reCaptcha by BestWebSoft
:https://ja.wordpress.org/plugins/google-captcha/
Google reCAPTCHAのv2またはv3を組み込むことができます。
有効インストール数: 200,000+ WP6.5.3で検証済み

CAPTCHA 4WP（旧：Advanced noCaptcha & Invisible Captcha）
：https://ja.wordpress.org/plugins/advanced-nocaptcha-recaptcha/
アクティブインストール数は100,000以上で、WooCommerceやContact Form 7などのプラグインにもreCaptchaを追加できます。
WP6.5.3で検証済み

Login No CAPTCHA reCAPTCHA
:https://ja.wordpress.org/plugins/login-recaptcha/
インストール数は90,000＋ですが、ログイン、登録、パスワード復帰のフォームでシンプルなGoogle reCAPTCHAを使えます。
WP6.4.4で検証済み

これらのプラグインは、PHP8.1.22環境で動作しており、Invisible reCaptchaと同等の機能を提供しています。

どのプラグインを選ぶかは、以下の3つのポイントを参考に検討することをおすすめします。
利用目的: フォームの種類やセキュリティ要件によって適したプラグインが異なります。
使いやすさ: 各プラグインの設定方法や操作性を比較して、使いやすいものを選びましょう。
機能: 無料版と有料版では利用できる機能が異なる場合があります。必要な機能が揃っているかどうか確認しましょう。

「不具合報告」にトピックを立てていただきましたが、これはCocoonの不具合ではないと思われます。

プラグインの問題のように思います。

そして、Cocoonフォーラムでは、上部の案内にあるように、環境情報のご提示をお願いしております。

書き込みの前に以下の3点をご確認ください。

1. 1つのトピックにつき1つの質問を書き込んでください
2. 不具合・カスタマイズ対象ページのURLを提示し高速化を無効にしてください
3. 該当部分のキャプチャ・環境情報とともに書き込んでいただけると助かります

フォーラムマナー・ルールにご協力いただけますと大変助かります。

環境情報のご提示がありませんので、分からないこともあるのですけれど。

仰っているプラグインは「Invisible reCaptcha for WordPress」でよろしいでしょう。

もし、そうであればの話として、書かせていただきます。

shinkoさんの環境の、PHPのバージョンはいくつでしょうか。

「Invisible reCaptcha for WordPress」は、約4年くらいメンテナンスされておらず、PHP 8.0系以降には対応していません。

（WordPressの検証済バージョンは、5.4系が最後）

Invisible reCaptcha for WordPress
https://ja.wordpress.org/plugins/invisible-recaptcha/

タブが本来それぞれ設定できる文言が記載あるのに私の画面はすべて「設定」という文言になっている