.header .header-in {
	min-height: 0;
}

こちらを試してみたおかげで気付いたんですが、COCOONのヘッダー設定で、高さを広めに設定した場合、ロゴの縦位置は変わらず、広げた分だけ下が広くなってしまう…という事にやっと気づきました。

つまり高さ設定さえしなければ、追加CSSに何の記述をしなくても、デフォルトのままでIEでもちゃんと中央になりました…

ほんの少し広げるかどうかの選択だけですので、そこまでこだわることもないなとは思ったんですが、leaftyさんのやり方をやってみたところ、幅を広げても意図した通りで表示できました。

画面幅によっては・・・という可能性もあるようですので、とりあえずはこの状態で不具合がないか様子見してみたいと思います。

本当にありがとうございます。

_:-ms-lang(x)::-ms-backdrop, .header .header-in {
padding-top: 14px;
}

こちらの記述でIEでも上下中央にできました。
画面幅はちょっと試しようがなかったですが、ブラウザの幅を変えてみたりした場合でも、きちんと表示されていました。
多分大丈夫だと思いますので、これで様子見してみたいと思います！
ありがとうございます！

例えば。

これだとデザインが変わってしまってダメですかね？

大丈夫であれば。ですけど、
.hlt-top-menu-wrap .header .header-in
にするとか？

上記の方法だと、画面幅によっては、ロゴが上下中央にならないので、メディアクエリを２つほど追加しないといないないかもしれません。

1 につきまして

以下のページが参考になるかもしれないと思い、書き込ませていただきました。

https://webkcampus.com/201903/1557/

http://neos21.hatenablog.com/entry/2018/03/11/080000

どうもcssのFlexboxのIEのバグ（と言ってもIEが古いので仕方ないのですが）のようです。

_:-ms-lang(x)::-ms-backdrop, .header .header-in {
padding-top: 14px;
}

cssでロゴの親のboxの上側にパディングをつけたらどうかと考えたのですが、ヒントになれば幸いです。

残りの話題に関しても、IEという同一の問題と認識してしまっており、失礼しました。
別々でトピックをたてさせていただきます。

①に関しては、僕のローカル環境で同様の状況を無理やり再現してみたのですが、IEでもデフォルトで真ん中に表示されます（添付画像）。

②③④に関しては、同一トピック内で複数の話題が進行すると、わかりづらくなるので、該当部分の内容のコピペで良いので新しいトピックをそれぞれ立てていただいてよろしいでしょうか。

画像に関わる部分ですが、IEのみ表示がおかしくなります。
IE11.950.17134.0

対象となるサイトのURLです。
https://sakura-cast.com/

以下の部分で意図しない表示になってしまいます。

１．サイトロゴ部分。
以下のように追加CSSにて縦位置を指定していますが、IEのみ効果がなく、上に寄ったままです。
.logo-header img{
vertical-align:middle;
}

２．フロントページ中段辺りの「MAIN CONENTS」
3カラムで画像を並べていますが、IEのみ巨大化してはみ出してしまいます。

３．https://sakura-cast.com/recruit/#toc5
上記の部分で、「メディアと文章」にて画像と文章を横並びさせていますが、IEに関しては、モバイル版の「モバイルで重ねる」指定をしたような、画像がカラム幅いっぱいに拡大表示されその下に文章がくる縦並びになってしまいます。
実際に「モバイルで重ねる」設定にしていますが、これを解除しても表示は変わりませんでした。

４．投稿ページのアイキャッチ画像
「アイキャッチの中央寄せ」設定にしていますが、IEの投稿ページに関してのみ、設定が反映されず、左寄りのままです。
もしかすると固定ページでも左寄りなのかもしれませんが、アイキャッチ画像自体が大きいためか、見た目には分かりません。

以上、chrome、edge、iPhoneでは意図した通りに表示されていますが、IEだけがおかしいという状況です。
同じような状況の方がいないか検索してみましたが、似てるようで違うかなと思うものしか見つけられず、それぞれの対処法は試していないのが現状です。
何かしら対策をご教授いただければ幸いです。
よろしくお願いします。