返信遅くなってしまい本当にすみませんでした。
つい先程アップデートファイルを適用し、無事に修正されていることを確認しました。

お忙しい中対応していただき、本当に感謝しています。
これからも長く使わせていただきたいと思います。

ありがとうございました。

add_action('personal_options_update', 'update_avatar_to_user_profile');

以下の、フックも追加することで、ユーザーのプロフィールも変更できるようになりました。

add_action('profile_update', 'update_avatar_to_user_profile');

こちらが、修正したアップデートファイルになります。
https://github.com/yhira/cocoon/archive/master.zip

変更点はこちら。

https://github.com/yhira/cocoon/commit/f4b427da793335003f068d17c1943fb6dc31d194

タイトルの通り管理者権限で本人以外のプロフィールURLを操作できません。
「ユーザー」「ユーザー一覧」「特定のユーザー名を選択」し、「プロフィールページURL」を変更しようとしましたが、できませんでした。
「ユーザーを更新」した段階で入力したはずのURLが消えてしまいます。
テストアカウントを作成後テストアカウントでログインし、そのURLを操作すると何も不都合なく変更されるので、本人以外のURLを操作できないようになっているのかも知れません。

もし、仕様なのでしたらすみません。お時間のある時で結構ですので調査のほどよろしくおねがいします。
一応ですが、環境情報を貼っておきます。

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サイト名：Fukuoka-Cafe
サイトURL：https://fukuoka-cafe.madebyjun.com
ホームURL：http://fukuoka-cafe.madebyjun.com
コンテンツURL：https://fukuoka-cafe.madebyjun.com/wp-content
インクルードURL：https://fukuoka-cafe.madebyjun.com/wp-includes/
テンプレートURL：https://fukuoka-cafe.madebyjun.com/wp-content/themes/cocoon-master
スタイルシートURL：https://fukuoka-cafe.madebyjun.com/wp-content/themes/cocoon-child-master
Wordpressバージョン：4.9.8
PHPバージョン：7.0.30
ブラウザ：Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_13_6) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/69.0.3497.100 Safari/537.36
サーバーソフト：Apache
サーバープロトコル：HTTP/1.1
言語：en-GB,en;q=0.9,ja;q=0.8,ko-KR;q=0.7,ko;q=0.6,ja-JP;q=0.5,en-US;q=0.4
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テーマ名：Cocoon
バージョン：1.2.0
カテゴリ数：3
タグ数：0
ユーザー数：3
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子テーマ名：Cocoon Child
バージョン：0.0.5
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利用中のプラグイン：
Gutenberg 3.8.0
WP Multibyte Patch 2.8.1
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