List of Google's common crawlers
https://developers.google.com/crawling/docs/crawlers-fetchers/google-common-crawlers

それって、結局他人のサイト（ドメイン）の評価であって。
ご自分の記事が評価されたものではないんですよね？

結局、ご自分の記事が評価されないと、意味ないのではないでしょうか。
ご自分の記事の評価が低ければ、そのドメインパワーというものの評価を下げることになるのではないかとも思います。

他人のふんどしで、評価してもらえるほど、甘いものなのかなと個人的には思うのですけれど。
（それで評価されるのであれば、誰も苦労しないと思うのですが、違うのですかねぇ・・・）

まだアイコンは反映されていませんが時間が経てば反映されるのでしょうか？

サイトの状態が確認できませんので、実際にサイトに設定されているのかは、こちらからは確認できません。

ファビコン自体が、Googleにガイドラインに従う必要がありますよね。
ガイドライン違反の場合は、設定しても検索結果には反映されません。

そして、Googleのガイドラインにも書いてありますが。

画像用 Googlebot がファビコン ファイルをクロールでき、Googlebot がホームページをクロールできることが必要です（クロールをブロックしないでください）。

「画像用Googlebot」が来てくれないと、Googleは認識しないと思います。
（ユーザーエージェントは、「Googlebot-Image/1.0」と思われます）

通常（検索用に投稿等をクロールする）のGooglebotとは別物のようです。
（インデックスされるのは、こちらのbotが来たから）

サイトを作ればきてくれるものでもないですから。
ユーザー側からできるとすれば、Search Consoleで、来てくれるようにリクエストするくらいかなと思います。

気長に待ってみてください。
（少なくとも、即座に反映されるものでもなく、クロール頻度が高いサイトでないと、時間は掛かると思います）

また、ユーザーIDが露出するのは危ないということで

元の投稿は消すべきでしょうか？

新しくサイトを作ったのであれば、そちらにあれば良いと思いますけれど。
初期ドメインについては、テストサイトにして非公開（例えばBasic認証をかける）にしておけば良いと思います。
（不要なら、サイトごと削除してしまえば良いと思いますが、テストサイトがあるといろいろ便利だと思います）

ちなみにですが、

今日独自ドメインを取得してgoogleのインデックス登録もして、アイコン設定もしました。

まだアイコンは反映されていませんが時間が経てば反映されるのでしょうか？

また、ユーザーIDが露出するのは危ないということで

元の投稿は消すべきでしょうか？

独自ドメインを使用した場合、エックスサーバーのサブドメインパワーは引き継がれませんよね？

Googleのアルゴリズムはブラックボックスなので、確かなことは言えません。
ただ一般的にサブドメインとメインドメインは別サイトとして扱われるため、ドメインパワーの影響はほぼないと言われています。なので、エックスサーバーのドメインパワーは基本的に引き継がれないと考えておいた方が良いと思います。

エックスサーバーの中の人が書かれているメディアでも以下のように、書かれています。
https://www.xserver.ne.jp/blog/domain-seo-evaluation/#%E8%B3%AA%E5%95%8F1-%E3%82%B5%E3%83%96%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AA-%E3%81%A8-%E3%82%B5%E3%83%96%E3%83%89%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3-%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%A3%E3%81%A1%E3%81%8C%E6%9C%89%E5%88%A9

サブドメインは同じドメイン内として「ドメインパワー」はある程度共通ですが、別サイトなのでサブディレクトリほどの結びつきの強さはありません。

独自ドメインを使用した場合、エックスサーバーのサブドメインパワーは引き継がれませんよね？

良く分かりませんが、何のためになのでしょう？
そのようなものが、何かの効果があるものなのでしょうか？
（仮にあるとすれば、過去の実績に対して評価するものであって、それがあるから何か良いことがあるものなのでしょうか？）

ユーザーIDが露見することは、とても怖いことだと思うのですが・・・。
（既に露見はしていますが）

あ、公開しない方がいいのですね💦

独自ドメインを使用した場合、エックスサーバーのサブドメインパワーは引き継がれませんよね？

先に@chu-yaさんがご提示くださいましたが、Googleのガイドラインにあるように、サブディレクトリのものは反映されません。

サブディレクトリの場合は、メインのドメインのものが適用されます。

Googleのガイドラインの以下の部分の通りです。

一方、https://www.example.com/sub-site はサイトのサブディレクトリであるため、設定できるファビコンは https://www.example.com/ に対する 1 つのみとなり、そのファビコンがメインのサイトとサブディレクトリの両方に適用されます。

そして、今回の場合、メインは403でアクセス拒否され、ファビコンの取得はできません。

Googleのガイドラインで、サブディレクトリのホームページのファビコンは表示されません。

https://developers.google.com/search/docs/appearance/favicon-in-search?hl=ja