role="button" を使う場合は、tabindex="0" も必要です。

そうなんですね。追加しておきました。
https://github.com/xserver-inc/cocoon/commit/dd0fae3035ef2815800fed0a876f49a22bd58a4f

であれば、Google クローラーなども考慮し、「目次へボタン」も role="button" tabindex="0" がいいかもしれません。リンク先の id="toc" がない時も href="#toc" とするのは、何か気持ち悪いです。

そうですね。確かにそうかもしれません。
こちらも同様に変更しておきました。
ありがとうございます！

<a role="button" tabindex="0"

#tocは必ずしもid="toc"がある部分に飛ぶわけではない

申し訳ないです。ショートコードやプラグインの目次を考慮していませんでした。

であれば、Google クローラーなども考慮し、「目次へボタン」も role="button" tabindex="0" がいいかもしれません。リンク先の id="toc" がない時も href="#toc" とするのは、何か気持ち悪いです。

もしくは、Cocoon 設定 > 目次の「目次を表示する」のチェックの有無で切り替えるのもいいかもしれません。

例えば、tmp/mobile-toc-button.php をこのように変更するとかでしょうか。

<?php
省略
$link_attr = is_toc_visible() ? 'href="#toc"' : 'role="button" tabindex="0"';
?>
省略
<a <?php echo $link_attr; ?> class="go-to-toc-common toc-menu-a menu-button-in"<?php echo $on; ?>>

href="#" は現在のページの先頭へのリンクのため、「トップボタン」には適しています。ただ、「目次へボタン」と「コピーボタン」は、私であれば変更します。

「目次へボタン」は、#toc が適しているように思えます。

<a href="#toc"

「コピーボタン」はリンク先がないため、href は書かず role="button" を使うのはどうでしょうか？

<a role="button" tabindex="0"

ただ、親テーマを変更していて不思議だったのが、href="#toc" にした場合に JavaScript を何も変更せずとも正常に動いてる。

試してみたら確かにそうでした。
冒頭でchu-yaさんが書かれたようにhref="#"でも動作したので変更しておきました。
https://github.com/xserver-inc/cocoon/commit/4b5914fc8468c6ff3e84e0012703c1f4077faa13

これだと別の問題があったりしたりするんだろうか。

例えば目次の場合、<a> タグに href 属性を書きます。

https://github.com/xserver-inc/cocoon/blob/master/tmp/mobile-toc-button.php#L24

<a href="#toc"

そして、<a> タグをクリックした時の処理に preventDefault() を追加します。

https://github.com/xserver-inc/cocoon/blob/master/javascript.js#L45-L51

$('.go-to-toc-common').click(function (event) {
  event.preventDefault();
  //目次へ移動する
  $('body,html').animate(
    {
      scrollTop: $('.entry-content .toc').offset().top,
    },
    800
  );
});

 通常の <a> タグをクリックした時と同じく、URL を変更し履歴に残すのもいいかもしれません。

const addFragment = (fragment) => {
  const url = new URL(location.href);
  url.hash = fragment;
  history.pushState(null, '', url.href);
};

$('.go-to-toc-common').click(function (event) {
  event.preventDefault();
  addFragment('toc');
  //目次へ移動する
  $('body,html').animate(
    {
      scrollTop: $('.entry-content .toc').offset().top,
    },
    800
  );
});

「べき論」で言えば、修正なのかもしれないです。
ただ、必ず修正しなければならないものでなければ、今のままで良いのではないかと、私は思います。

変更してしまうと、やはり影響は大きいと思います。
そして、ご利用の方々の反応も多い気がします。

その際は、仕様が変わった（あるべき姿になった）とは捉えてはもらえずに、不具合だという反応が強そうで、ちょっと怖い感じがします。
（WordPress 6.0や6.1の頃を見ても、事前に対応しているのに、それでも不具合だと(VerUpを怠っているのに)。6.2は事前に対応したんだね的な発言もあり・・・そうじゃないんですけどねぇ）

ご利用の方々に影響がないのが良いのかな・・・と思います。
（必ずそうしなければならないのであれば、別ですけれど）